Численное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, страница 4

Указать его порядок точности и формулу для апостериорной оценки его ЛП (по терминологии [2] – формулу контрольного члена метода). Каковы свойства последней формулы?

2. Изложить алгоритм метода Мерсона с автоматическим выбором переменного шага интегрирования по заданной величине  локальной погрешности для численного решения ЗК (1) (см. [1, стр. 21-23, 25-26]).

3. Составить программу, реализующую алгоритм из п. 2.

Входные данные программы: , , , , , ;  – начальный шаг сетки;  – минимальный допустимый шаг сетки;  – число точек выдачи результатов; tr(1), tr(2), …, tr() – точки выдачи результатов.

Выходные результаты: ; tr(1), tr(2), …, tr(); yr(1), yr(2), …, yr() – приближенные значения искомого решения  в точках выдачи; NT – число узлов сетки, на которой получено приближенное решение ЗК с ЛП .

Приближенное решение в точке выдачи tr(i), не совпадающей с узлами сетки и расположенной, например, между соседними узлами сетки  и , вычислять с помощью интерполяционного полинома Эрмита (почему?), построенному по приближенным значениям , .

4. С помощью составленной программы найти приближенное решение ЗК

    ,         , .                                   (2)

 = 10^-5;  = 0.3;  = 10^-4; tr(i) = 0.3i, i = 1,…,10.

Найти решение задачи (2) аналитически и сравнить точное и приближенное решение в точках выдачи.

Литература

1. Методические указания по вычислительному практикуму. Ч.3., Л. 1984
2. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численное решение ОДУ на Фортране., МГУ, 1990.

Тема 5. Численное решение задачи Коши (ЗК) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задание 8

1. Выписать формулы трехшаговых экстраполяционного и интерполяционного методов Адамса (ЭМА и ИМА) для нахождения приближенного решения ЗК

,                      (1)

где  – искомая, а  – заданная вектор-функции, – заданный вектор.

Дать определения глобальной (методической) погрешности (ГП) этих методов и указать порядки их точности.

2. Изложить алгоритм предиктор-корректор метода, основанного на паре указанных методов, с одной коррекцией (ПКМ1). Сформулировать правило Рунге для практической (апостериорной) оценки погрешности ПКМ1. Описать алгоритм ПКМ1 с автоматическим выбором шага по заданной величине  глобальной погрешности этого метода. Для вычисления приближенного решения в трех первых узлах сетки использовать метод Рунге-Кутты 3) из [1, стр. 9]. Для оценки погрешности ПКМ1 в текущем узле по правилу Рунге рекомендуется решать ЗК (1) с целым и половинным шагом параллельно, и если погрешность в текущем узле превышает , то сразу возвращаться в начальную точку  и уменьшать шаги вдвое, а не продолжать интегрирование до конца отрезка [, T].

3. Составить программу, реализующую алгоритм из п. 1.

Входные данные программы: , , , , , ;  – начальный шаг интегрирования;  – минимальный допустимый шаг интегрирования;  – число точек выдачи результатов; tr(1), tr(2), …, tr() – точки выдачи результатов.

Выходные результаты: ; tr(1), tr(2), …, tr(); yr(1), yr(2), …, yr() – приближенные значения искомого решения  в точках выдачи; hr – шаг, при котором получено решение с требуемой точностью.

4. С помощью составленной программы найти приближенное решение ЗК

,     ,      , .                                      (2)

с точностью  = 10^-4. Начальный шаг  = 0.1, tr(i) = 0.1i,   i = 1,…,12.

Найти решение ЗК (2) аналитически и сравнить с приближенным.

Замечание

В программе считать точки выдачи совпадающими с узлами сетки.

Литература

1. Методические указания по вычислительному практикуму. Ч.3., Л. 1984
2. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численное решение ОДУ на Фортране., МГУ, 1990.

Тема 5. Численное решение задачи Коши (ЗК) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задание 9

1. Привести расчетные формулы 3-шагового интерполяционного метода Адамса и 2-шагового экстраполяционного метода Адамса для нахождения приближенного решения ЗК

,                      (1)

где  – искомая, а  – заданная вектор-функции, – заданный вектор.