Численное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, страница 5

Дать определение глобальной (методической) погрешности (ГП) этих методов, указать порядки их точности. Описать предиктор-корректор метод с двумя коррекциями (ПКМ2), основанный на паре указанных методов, и указать его порядок точности. Сформулировать правило Рунге для практической оценки ГП ПКМ2.

2. Изложить алгоритм решения ЗК (1) с помощью ПКМ2. Значения приближенного решения в 3 первых точках сетки вычислять по методу типа Рунге-Кутты 4) из [1, стр. 9]. Шаг интегрирования брать таким, чтобы точки, в которых запоминается приближенное решение, были узлами сетки. ГП в текущем узле оценивать по правилу Рунге, решая ЗК (1) с шагами  и /2 параллельно.

3. Составить программу, реализующую алгоритм из п. 2.

Входные данные программы: , , , , ;  – шаг интегрирования;  – число точек выдачи приближенного решения; tr(1), tr(2), …, tr() – точки выдачи результатов.

Выходные результаты:  – максимальное значение величины (нормы) ГП метода; tr(1), tr(2), …, tr(); yr(1), yr(2), …, yr() – приближенные значения искомого решения  в точках выдачи; .

4. С помощью составленной программы найти приближенное решение ЗК

,             ,         , .                                     (2)

подбирая (последовательным делением некоторого начального шага) шаг  так, чтобы было 10^-5. Точки выдачи приближенного решения tr(i) = 0.2i,   i = 1,…,10.

Литература

1. Методические указания по вычислительному практикуму. Ч.3., Л. 1984
2. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численное решение ОДУ на Фортране., МГУ, 1990.

Тема 5. Численное решение задачи Коши (ЗК) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задание 10

1. Привести общий вид формулы явного -этапного метода типа Рунге-Кутты (МТРК) для нахождения приближенного решения ЗК

,                      (1)

где  – искомая, а  – заданная вектор-функции, – заданный вектор.

Дать определения:

а) глобальной (методической) погрешности (ГП) МТРК; б) локальной погрешности (ЛП) МТРК в узле .

Из каких соображений выбираются параметры общей формулы при получении конкретного метода? Что такое порядок точности МТРК?

Сформулировать правило Рунге для практической (апостериорной) оценки ГП и ЛП МТРК. На чем основывается это правило и при каких условиях оно применимо?

2. Конкретизировать параметры общей формулы и ее вид для МТРК 6) из [1, стр. 9], а также правило Рунге для оценки ГП этого метода. Изложить алгоритм метода с автоматическим выбором постоянного шага интегрирования по заданной величине  ГП.

3. Составить программу, реализующую алгоритм из п.2.

Входные данные программы: , , , , , ;  – начальный шаг интегрирования;  – минимальный допустимый шаг интегрирования;  – число точек выдачи результатов; tr(1), tr(2), …, tr() – точки выдачи результатов.

Выходные результаты: ; tr(1), tr(2), …, tr(); yr(1), yr(2), …, yr() – приближенные значения искомого решения  в точках выдачи; hr – шаг сетки, при котором достигнута требуемая точность .

Глобальную погрешность в текущем узле сетки оценивать по правилу Рунге, параллельно решая задачу (1) с половинным шагом. Точки выдачи должны быть узлами сетки.

4. С помощью составленной программы найти приближенное решение ЗК

,    ,      , .                                      (2)

с точностью  = 10^-4. Начальный шаг  = 0.1. Точки выдачи результатов tr(i) = 0.1i,  i = 1,…,12.

Найти точное решение ЗК (2) аналитически и сравнить его с приближенным в точках выдачи.

Литература

1. Методические указания по вычислительному практикуму. Ч.3., Л. 1984
2. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение ОДУ на Фортране., МГУ, 1990.

Тема 5. Численное решение задачи Коши (ЗК) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задание 11

1. Привести общий вид формулы явного -этапного метода типа Рунге-Кутты (МТРК) для нахождения приближенного решения ЗК

,                      (1)

где  – искомая, а  – заданная вектор-функции, – заданный вектор.

Дать определения:

а) глобальной (методической) погрешности (ГП) МТРК; б) локальной погрешности (ЛП) МТРК в узле .