Оптимальные системы. Основные понятия. Постановка задачи синтеза оптимальных систем. Метод динамического программирования, страница 6

,    , ,

с ограничением типа  и критерием быстродействия. При этом оптимальное управление имеет вид (12.40).

Поскольку объект управления линейный, для него можно определить корни характеристического уравнения

                                 (12.41)

в виде совокупности .

Рассмотрим без доказательства формулировку теоремы.

Теорема. если корни характеристического уравнения (12.41) вещественные, то число переключений управляющего воздействия не превышает (n – 1), где n – порядок объекта.

Следствие. число интервалов постоянства управляющего воздействия не превышает n.

Варианты изменения оптимального управления в линейной системе третьего порядка с вещественными корнями приведены на рис.12.8.

а                                              б                                        в

Рис. 12.8. Иллюстрация изменения оптимального управления:

а – нет переключений;  б – с одним, в – с двумя переключениями

В случае, когда среди совокупности корней характеристического уравнения (12.41) есть комплексно-сопряженные, число переключений теоретически не ограничено. В реальных системах невысокого порядка число переключений, как правило, невелико.

Пример 12.4

Рассмотрим задачу синтеза оптимальной по быстродействию системы для объекта

Запишем гамильтониан быстродействия

и определим оптимальное управление

.

Система дифференциальных уравнений для сопряженных координат имеет вид

Ее можно представить в виде одного дифференциального уравнения

, которому соответствует характеристическое

.

При d³ 1 его корни l₁ и l₂ будут вещественными и положительными, следовательно, оптимальное управление принимает вид

, где .

12.5. Метод  поверхности  переключения

12.5.1. Основные  понятия

Этот метод применяется для формирования оптимального управления в виде обратной связи в случае, когда управление носит разрывный (релейный) характер.

Рассматриваются общая задача синтеза оптимальной системы для объекта (12.1)

и переход из произвольных начальных состояний  в заданные конечные  в соответствии с некоторым критерием оптимальности

.                        (12.42)

Оптимальный закон управления в этом случае имеет вид

,                            (12.43)

где  – вектор максимальных значений управления,  – вектор функций, определяющих в пространстве состояний некоторую поверхность, которая называется поверхностью переключения [13]

.                                      (12.44)

Для определения этой поверхности предварительно конечная точка «приводится» к началу координат с помощью замены переменных

.                                 (12.45)

Затем в пространстве состояний исследуются траектории перехода из произвольных начальных состояний  в конечную точку. На траекториях перехода выделяются точки, где происходит смена знака управления, которые объединяются в поверхность переключения

.                                     (12.46)

Однако чтобы получить траекторию перехода из начальной точки  в начало координат пространства состояний, необходимо также задавать в соответствии с принципом максимума и начальные условия для сопряженных координат . Если эти начальные условия выбраны неудачно, то получим траекторию перехода не в , а в произвольную точку пространства состояний. В этом случае следует задать новые начальные условия для сопряженных координат  и вновь попытаться отыскать траекторию перехода в начало координат (рис.12.10).

Для новой начальной точки  траектория перехода в начало координат также может быть получена в результате перебора начальных условий для сопряженных координат (рис.12.10).

Объединяя точки переключения управления на всех траекториях перехода из произвольных состояний в начало координат, можно получить поверхность переключения в виде (12.46) или, разрешив уравнение (12.46) относительно , в следующей форме: