Синтез оптимальных наблюдателей переменных состояния нелинейных объектов управления, страница 8

Задачасинтеза адаптивной системы автоматического управления объектом с неизвестной математической моделью рассматривалась А. А. Красовским [9]. Он разработал пропор-циональный самоорганизующийся регулятор, который формирует управляющее воздействие, обращающее в минимум функционал обобщенной работы.

Для уменьшения статической погрешности управления, присущей всем пропорциональным регуляторам, в регуляторе Красовского все время регулирования разбивают на отдельные временные окна (циклы) и используют несколько альтернативных моделей объекта управления. В каждом окне регулятор формирует с использованием каждой модели свой вариант управляющего воздействия. Из этого множества альтернативных управляющих воздействий выбирают простым перебором вариант, который обеспечивает минимальное значение используемой функции стоимости.

Этот недостаток можно устранить, если в системе автоматического управления применять наблюдатель переменных состояния, разработанный в разделе 2.3.

Априорная модель объекта управления. Рассматривается задача синтеза  математической модели объекта управления, который имеет выходной сигнал , доступный измерениям, и управляющее воздействие . Кроме того, на этот объект действуют неизвестные возмущающие воздействия. Структура объекта и физическая модель происходящих в нем процессов неизвестны. Математическая модель объекта предназначается для использования в адаптивной системе автоматического управления этим объектом.

Для составления априорной модели объекта управления весь промежуток времени , в котором осуществляют управление этим объектом, разобьем на отдельные интервалы (окна) протяженностью . Тогда в пределах окна с номером , где , , можно составить следующую модель динамики объекта управления:

где  ,  и  - неизвестные функции времени.

Изменение во времени переменных ,  и  можно аппроксимировать, например, В-сплайнами [55]:

, ,

где , ,  - известные финитные функции, вид которых зависит от порядка сплайнов; , ,  - векторы неиз-вестных параметров (коэффициентов В-сплайнов);  - средне-квадратическое отклонение суммарной погрешности аппроксимации;  - известная оценка среднеквадратического отклонения погреш-ности аппроксимации в окне с номером ;  - нормированная погрешность аппроксимации (случайный процесс с  интенсивностью ).

Выходной сигнал измерительного устройства  связан с выходным сигналом объекта  уравнением

где  – среднее значение погрешности прогноза выходного сигнала измерительного устройства;  – случайная составляющая погреш-ности измерений, которая имеет нулевое среднее значение и дисперсию .

В скользящем временном окне, которое имеет величину , вычислим оценку среднего значения погрешности оценивания выходного сигнала измерительного устройства по формуле

Выполним дифференцирование правых и левых частей равенства (2.4.4) по переменной  и исключим из полученных выражений переменную , используя уравнение (2.4.5) и равенство . В результате получим модель измерительного устройства

,

которую можно представить в следующем эквивалентном виде:

где  - решение дифференциального уравнения

с начальными условиями

 - погрешность оценивания выходного сигнала измеритель-ного устройства

Таким образом, в используемом временном окне с номером  состояние объекта управления определяют переменные ,  и параметры , , , . Для оценивания неизвестной дисперсии  совместно с другими переменными воспользуемся преобразованием модели объекта управления, предложенным в [59]. Для этого составим вектор переменных состояния объекта:

Тогда в матричной форме записи уравнения (2.4.1), (2.4.3), (2.4.6) и (2.4.7) примут следующий вид: