Синтез оптимальных наблюдателей переменных состояния нелинейных объектов управления, страница 4

Так как  - вектор белых шумов с гауссовскими плотностями распределения вероятности, а вектор  составлен из случайных гауссовских величин то из (2.2.1), (2.2.2), (2.1.8) и (2.1.11) следует, что

где  - параметр, величина которого не зависит от переменных ,  и .

Плотность распределения вероятности  не зависит от переменных ,  и . Поэтому формулу (2.2.4) после подстановки выражений (2.2.5) и (2.2.6) можно представить в следующем виде:

Таким образом, наблюдатель переменных состояния дина-мической системы (2.2.1)-(2.2.3), оптимальный по критерию МАВ, должен формировать оценки переменных состояния путем оптимизации функционала (2.2.7) по переменным ,  и  при ограничениях  (2.2.1), (2.1.4), (2.1.21).

Системы с цветными шумами. В другом частном случае состояние объекта управления вновь описывают уравнениями (2.1.16), но теперь погрешности измерений  и погрешности аппроксимации  являются гауссовскими цветными шумами с корреляционными функциями (2.1.22) и (2.1.5). При этом начальные условия (2.1.10) и (2.1.17) являются гауссовскими случайными величинами.

Для составления критерия максимума апостериорной вероятности сформируем векторы

,  .

Тогда априорную математическую модель объекта управления можно описать дифференциальными уравнениями (2.2.1) с начальными условиями (2.2.2) и уравнением (2.1.25).

В этих уравнениях  и  – векторы белых шумов, которые имеют гауссовские распределения вероятности, нулевые средние значения и матрицы интенсивностей (2.1.8) и (2.1.24).  Поэтому условная плотность

Из (2.2.8) следует, что в рассматриваемом случае для синтеза наблюдателя переменных состояния необходимо применять систему измерительных устройств выходных сигналов объекта управления, выполненную в виде параллельного соединения пропорционального (П), интегрирующего (И) и дифференцирующего (Д) звеньев (рис. 2.4). Выходной сигнал такого соединения содержит погреш-ность измерения в виде белого шума .

Таким образом, наблюдатель переменных состояния системы с гауссовскими цветными шумами, оптимальный по критерию МАВ, должен формировать оценки переменных состояния путем оптимизации функционала (2.2.8) по переменным ,  и  с учетом ограничений (2.2.1), (2.1.4), (2.1.27).

2.2.2. Критерии метода наименьших квадратов

Функция стоимости ПИ-наблюдателя переменных состояния объекта управления с произвольными шумами. В общем случае, когда плотности распределения вероятности погрешностей измерений и (или) возмущающих воздействий не известны, можно сформировать следующую функцию стоимости обобщенного метода наименьших квадратов:  

где  и  -  матрицы дисперсий погрешностей задания начальных условий, а  и  - положительно определенные матрицы весовых коэффициентов, которые имеют размерность энергии сигналов  и ;  - вектор погрешностей оценивания выходных сигналов  измерительных устройств:

Функция стоимости (2.2.9) составлена аддитивной сверткой частных показателей, определяющих:

- квадраты погрешностей задания начальных условий (первые два слагаемых функции стоимости (2.2.9));

- средние квадраты отклонений погрешностей оценивания  выходных сигналов  измерительных устройств  от своих средних значений , вычисленных усреднением по времени в скользящем временном окне (2.2.10) (выборочные оценки дисперсий погреш-ностей оценивания);

- средние квадраты погрешностей аппроксимации  возмущающих воздействий (последнее слагаемое функции стои-мости (2.2.9)).

Из формул (2.2.9), (2.2.7), (2.1.21) видно, что если вектор  погрешностей аппроксимации  и векторы погрешностей измерений  и  образованы гауссовскими белыми шумами с нулевыми средними значениями и матрицами интенсивностей ,  и , то максимизация условной плотности  эквивалентна минимизации квадратичной функции стоимости (2.2.9).

Функция стоимости (2.2.9) содержит взвешенную сумму по-грешностей оценивания  (пропорциональная (П) часть функции стоимости) и взвешенную сумму средних значений (2.2.10) погреш-ностей оценивания (интегральная (И) часть функции стоимости). Поэтому выражение (2.2.9) будем называть функцией стоимости ПИ-наблюдателя обобщенного метода наименьших квадратов (функцией стоимости МНК) для нелинейного объекта управления (2.2.1)-(2.2.3), (2.1.4) с произвольными шумами.