Синтез оптимальных наблюдателей переменных состояния нелинейных объектов управления, страница 2

2.1.4. Математическая модель измерительных устройств

В общем случае выходные сигналы  измерительных устройств, образующие вектор , связаны с переменными состояния нелинейным уравнением

где  – вектор известных непрерывных функций своих аргументов;  – вектор, образованный неизвестными средними значениями погрешностей измерений;  - вектор, образованный случайными составляющими погрешностей измерений , которые имеют нулевые средние значения и известные корреляционные функции.

Корреляционные функции погрешностей измерений  можно использовать для составления математических моделей измерительных устройств.

Модель измерительных устройств с погрешностями измерений в виде белых шумов. Часто времена корреляции  погрешностей измерений  являются величинами второго порядка малости по сравнению со временами корреляции переменных состояния объекта управления. В этих случаях погрешности измерений  можно считать белыми шумами с нулевыми средними значениями и матрицей интенсивностей .

Для составления математической модели измерительных устройств необходимо из уравнения (2.1.18) исключить вектор  неизвестных средних значений погрешностей измерений. Для этого в скользящем временном окне определим средние по времени значения выходных сигналов измерительных устройств

Из (2.1.18) и (2.1.19) следует, что

.

Поэтому, исключив из (2.1.18) вектор , получим математическую модель измерительных устройств с белыми шумами

Из формул (2.1.20) и (2.1.21) видно, что вектор  является выходным сигналом системы, образованной параллельным соединением пропорционального (первое слагаемое в формуле (2.1.21)) и интегрирующего (второе слагаемое) звеньев (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Система измерительных устройств с белыми шумами

Модель измерительных устройств с цветными шумами. В общем случае погрешности измерений  нельзя считать белыми шумами. Поэтому математическую модель измерительного устрой-ства следует определять с учетом корреляционной функции погрешностей измерений.

В используемом скользящем временном окне корреляционную функцию погрешности измерений  с достаточной точностью можно описать формулой

В разделе 2.1.1 было показано, что корреляционную функцию (2.1.22) имеет случайный процесс, формируемый генератором цветного шума

где  – белый шум с нулевым средним значением и интенсивностью

В пределах рассматриваемого временного окна . Поэтому из уравнений (2.1.23), (2.1.18)-(2.1.21), (2.1.16) и (2.1.4) можно получить, исключая  и , следующую математическую модель измерительных устройств:

где  – диагональная матрица времен корреляции погрешностей измерений;  – вектор белых шумов с нулевыми средними значениями и интенсивностями (2.1.24);

Из (2.1.26) видно, что вектор  составлен из выходных сигналов системы, образованной параллельным соединением пропорционального (первое слагаемое в формуле (2.1.26)), интегрирующего (второе слагаемое) и дифференцирующего (третье слагаемое) звеньев (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Система измерительных устройств

В некоторых случаях погрешности измерений  имеют корреляционные функции

Аналогичными преобразованиями можно показать, что математическую модель таких измерительных устройств можно описать уравнениями

,

где  – вектор белых шумов с нулевыми средними значениями и матрицей интенсивностей . Следовательно, в зависимости от имеющейся априорной информации о корреляцион-ных функциях погрешностей измерений можно составить различные математические модели измерительных систем с эквивалентными белыми шумами.

Обычно измерительные устройства проектируют так, чтобы погрешности измерений имели быстро убывающие корреляционные функции [56]. Поэтому в дальнейшем ограничимся математическими моделями измерительных устройств (2.1.20), (2.1.21) и (2.1.25)-(2.1.27).