Синтез оптимальных наблюдателей переменных состояния нелинейных объектов управления, страница 7

Тогда оценку  переменных состояния , оптимальную по критерию максимума апостериорной вероятности (2.2.8), формирует следующая динамическая система (ПИД-наблюдатель переменных состояния):

с начальными  условиями (2.3.11), где

а матрицы ,  и  вычисляют по формулам (2.3.12), (2.3.13) и (2.1.24).

Для доказательства теоремы 2 вновь введем переменную  по формулам (2.2.10) и заменим задачу максимизации условной плотности (2.2.8) на эквивалентную задачу минимизации функции стоимости (2.2.11) при ограничениях (2.2.1), (2.1.24)-(2.1.27). Дальнейшее доказательство теоремы 2 осуществляется так же, как и доказательство теоремы 1.

ПИД-наблюдатель переменных состояния нелинейного объекта с произвольными шумами. Рассмотрим теперь случай, когда функции распределения вероятности погрешностей измерений  и вектора  погрешностей аппроксимации  неизвестны.

Синтез ПИД‑наблюдателя переменных состояния объекта управления (2.2.1) можно выполнять минимизацией функции стоимости (2.2.11) обобщенного МНК с ограничениями (2.2.1), (2.1.8) и (2.1.24)-(2.1.27). Очевидно, что эта вариационная задача совпадает с вариационной задачей, составленной по условиям теоремы 2. Поэтому ПИД‑наблюдатель (2.3.24)-(2.3.27), (2.3.12), (2.3.13), (2.1.24) формирует оценки переменных состояния нелинейного объекта (2.2.1) с произвольными шумами, оптимальные по критерию (2.2.11) обобщенного МНК.

Пример 1. Нелинейный объект имеет следующие уравнения состояния:

где  - пространственная координата объекта в системе координат, в центре которой находится устройство, измеряющее расстояние до объекта:

,  - скорость движения объекта и управляющее воздействие, недоступные прямым измерениям;  - возмущающее воздей-ствие, которое является неизвестной функцией пространственной координаты объекта;  - постоянная времени объекта, значение которой известно приближенно;  - случайная погрешность измерений с дисперсией .

Объект (2.3.28)-(2.3.30), имеющий постоянную времени  (известное наблюдателю значение постоянной времени ), движется под действием  управляющего и возмущающего воздействий, законы изменения которых от своих аргументов приведены на рисунках 2.5 и 2.6.

На рисунке 2.7 изображен график изменения скорости движения объекта. На рисунке 2.8 приведены результаты измерений текущих значений пространственной координаты этого объекта.

Результаты измерений текущих значений пространственной координаты, выполненные с относительной погрешностью , использовались для оценивания текущих значений скорости движения объекта (одновременно с идентификацией его постоянной времени) с помощью рекуррентного метода наименьших квадратов (фильтра Калмана) и алгоритма (2.3.8)-(2.3.13) при величине временного окна  и .

Результаты оценивания скорости движения объекта с помощью указанных методов приведены на рисунке 2.9.

Рис. 2.9. Результаты оценивания скорости движения объекта

На рисунке 2.9 изображены изменение во времени действи-тельной скорости движения объекта (линия 2), оценка скорости, вычисленная с помощью разработанного алгоритма (линия 1), и оценка скорости  по алгоритму фильтра Калмана  (линия 3). Резуль-таты моделирования (рис. 2.9) показывают, что в этом примере алгоритм (2.3.8)-(2.3.13) обеспечивает несмещенные оценки скорости движения объекта со среднеквадратическим отклонением погреш-ности оценивания . В то же время оценки фильтра Калмана (линия 2 на рис. 2.9) имеют существенное смещение.

2.4. ПИ-наблюдатель переменных состояния объекта

с неизвестной математической моделью