Синтез оптимальных наблюдателей переменных состояния нелинейных объектов управления, страница 11

С помощью В-сплайнов ограничения в форме неравенств (2.1.1) и (2.1.11) заменены дифференциальными и алгебраическими уравне-ниями (2.1.4), (2.1.8)-(2.1.10), (2.1.13)-(2.1.15), с помощью которых формируют априорные оценки возмущающих и управляющих воздействий из белых шумов.

Исходная математическая модель измерительных устройств (2.1.18), которая содержит погрешности измерений с известными ковариационными функциями и неизвестными средними значениями, преобразована (в зависимости от вида ковариационной функции) в эквивалентную модель измерительных устройств (2.1.20), (2.1.21) либо (2.1.25)-(2.1.27), либо (2.1.29), (2.1.30). Эквивалентная модель измерительных устройств содержит белые шумы с нулевыми средними значениями и известными оценками интенсивностей.

В результате получена априорная модель системы управления, которая линейна по случайным составляющим погрешностей измерений, возмущающих и управляющих воздействий. Это позволяет применять принцип разделения при синтезе системы управления.

В соответствии с теорией регуляризации сплайн-аппроксимация является одной из процедур регуляризации некорректно поставленных задач, где параметром регуляризации является интервал непрерывности сплайнов [55], [60].

Кроме того, регуляризация исходной постановки задачи обеспечена за счет:

- использования априорной информации о начальных значениях переменных состояния объекта управления и возмущающих воздействий;

- включения в априорную модель системы математического описания погрешностей аппроксимации, которые считают случайными процессами с нулевыми средними значениями и корреляционными функциями (2.1.5) и (2.1.12);

- учета в математической модели средних значений погрешностей оценивания выходных сигналов  измерительных устройств и корреляционных функций погрешностей измерений.

С помощью вариационного исчисления и инвариантного погружения получены алгоритмы ПИ- и ПИД-наблюдателей переменных состояния объекта управления.

ПИ-наблюдатель (2.3.8)–(2.3.14) формирует оценки переменных состояния объекта управления, оптимальные по критерию (2.2.9) обобщенного МНК (с минимальными средними квадратами откло-нений погрешностей оценивания  выходных сигналов измеритель-ных устройств от своих средних значений , вычисленных усре-днением по времени в скользящем временном окне).

 Показано, что если все случайные величины и случайные процессы, действующие в системе, имеют гауссовские функции распределения вероятности, а случайные составляющие погреш-ностей измерений - белые шумы, то ПИ‑наблюдатель (2.3.8)–(2.3.14) формирует оценки переменных состояния, оптимальные по критерию МАВ (2.2.8).

Если все случайные величины и случайные процессы, действующие в системе, имеют гауссовские функции распределения вероятности, а случайные составляющие погрешностей измерений имеют корреляционные функции (2.1.22), то ПИД‑наблюдатель (2.3.24)–(2.3.27), (2.3.12), (2.3.13), (2.1.24) формирует оценки пере-менных состояния, оптимальные по критерию МАВ.

Из уравнений (2.3.8)–(2.3.14) и (2.3.24)–(2.3.27) следует, что (в отличие от существующих) разработанные наблюдатели переменных состояния объекта управления представляют собой систему ПИ‑регуляторов (либо ПИД‑регуляторов) переменных состояния с переменными параметрами настройки. Такая структура обеспечивает наблюдатели астатическими свойствами. При этом ПИ‑регуляторы, как это известно [6], обладают большей инерционностью, а ПИД‑регуляторы более чувствительны к случайным возмущающим воздействиям и имеют меньший запас устойчивости по сравнению с ПИ‑регуляторами.

  Изменяющиеся во времени параметры настройки ПИ‑ и ПИД‑наблюдателей вычисляют путем интегрирования матричных уравнений Риккати (2.3.10) и (2.3.26) с начальными условиями (2.3.11), что легко реализовать в реальном масштабе времени.

Матричные уравнения Риккати (2.2.10) и (2.3.26), как это доказал Р. Калман [21], имеют единственное асимптотически устойчивое решение при любых начальных условиях и любых положительных значениях весовых коэффициентов, образующих матрицы ,  и .

Если модель процессов, происходящих в объекте управления, неизвестна, то оценки переменных состояния этого объекта можно формировать с помощью ПИ‑наблюдателя (2.4.20) – (2.4.27), (2.4.14),  (2.4.16).