Статистическая проверка параметрических гипотез

Курс лекций по дисциплине «ТВиМС»

Лекция №5-6                  (лекция №14-15 в общем потоке)

План:

·  Предисловие;

·  Статистическая проверка гипотез. Постановка задачи;

·  Об истории проверки статистических гипотез;

·  Статистическая проверка гипотез. Основные определения;

·  Ошибки, совершаемые при проверке статистических гипотез. Сущность проверки статистических гипотез;

·  Алгоритм проверки статистических гипотез с помощью статистических критериев значимости;

·  Проверка гипотезы о значении МО СВ, имеющей нормальный закон распределения с известным СКО;

·  Проверка гипотезы о значении МО СВ, имеющей нормальный закон распределения с неизвестным СКО;

·  Проверка гипотезы относительно равенства МО двух независимых СВ, имеющих нормальные законы распределения с известными СКО;

·  Проверка гипотезы относительно равенства МО двух независимых СВ, имеющих нормальные законы распределения с неизвестными, но равными СКО;

·  Послесловие.

Предисловие

Прошлая лекция была посвящена нахождению оценок числовых характеристик и параметров распределения СВ. Говорили о точечных и интервальных оценках. Точечные оценки характеризуют оцениваемый параметр одним числом (), а интервальные – двумя числами (₁ и ₂) – границами интервала (₁ , ₂), который накрывает оцениваемый параметр с заданной доверительной вероятностью P_дов=1–a. Более подробно мы говорили о точечных оценках, рассмотрев свойства несмещённости, состоятельности и эффективности точечных оценок.

Кроме этого, прошлой лекции рассмотрели наиболее простые примеры построения интервальных оценок некоторых параметров распределения СВ, имеющих нормальный закон распределения. К сожалению, часто задача построения интервальных оценок числовых характеристик случайных величин, которая упирается в подбор вспомогательной случайной величины – выборочной статистики – с заранее известным законом распределения, бывает весьма сложной.

На трех последующих лекциях займемся изучением другого важного раздела МС, связанным с проверкой статистических гипотез.

Статистическая проверка гипотез. Постановка задачи

На самом деле в практической деятельности часто возникают задачи, решение которых возможно только методами ТВиМС.

Пример 1. Допустим, исследуется электромагнитная обстановка (помехи) в канале связи. Уровень помехи в произвольный момент времени есть СВ x₁ с некоторой функцией распределения F(x,Q), где Q – параметр распределения. Предположим, с целью уменьшения помех вы применили некоторый комплекс мер. СВ x₂ – уровень помех в канале связи после проведения защитных мероприятий. Если набрать выборку значений СВ x₁ и x₂ , полученных до и после проведения защитных мероприятий, то сможем оценить параметры  и  распределения. Естественно, они будут отличаться. Но спрашивается, связано ли это изменение с проводимыми мероприятиями, или различие оценок параметра q  вызвано лишь случайностью выборки?

Замечу, что генеральная совокупность в данном эксперименте бесконечна и выборочный метод – единственный.

Пример 2. Исследуется ошибка измерения некоторой физической величины (например, напряжения). Ошибка измерения – СВ. Требуется определить, требуется ли калибровка или ремонт измерительного прибора (т.е. присутствует ли значимо систематическая погрешность измерения)? Отмечу, что систематическая погрешность – по существу – МО ошибки измерения. Необходимо узнать МО=0 или нет. Данная задача не так уж проста, ведь исследование генеральной совокупности в данном эксперименте невозможно, а точечная оценка МО ошибки измерения практически никогда нулю равна не будет, даже если систематическая погрешность прибора отсутствует.

Пример 3. Влияет ли тефлоновое покрытие на срок службы дискеты.

Об истории проверки статистических гипотез

Учёт населения, проведённый в Китае в 2238 г. до н. э., показал, что доля родившихся мальчиков составляла примерно 50 %. Однако в 1710 г. английский математик, врач, писатель Джон Арбутнот заметил, что гипотеза о равном соотношении мальчиков и девочек должна быть отвергнута, так как по данным с 1628 по 1710 гг. (за 82 года) каждый год мальчиков рождалось больше. Если бы вероятность рождения мальчика была бы равна ½, то такой исход был бы практически невозможным (0,5⁸²).

Подобными исследованиями в 1784 г. занимался Лаплас. Он обнаружил, что доля родившихся мальчиков во Франции приблизительно равнялась 22/43.

А в 1812 г. Лаплас исследовал Солнечную систему. Он использовал статистические методы для решения следующей задачи: являются ли кометы обычными элементами Солнечной системы или они являются внешними объектами. В этом случае углы между орбитами комет и эклиптикой были бы равномерно распределены на интервале от 0 до 360. Что в последствии оказалось справедливым.