Статистическая проверка параметрических гипотез, страница 8

Рис. 1

.                              (1)

Рис. 2

  (2)

;                (3)

.                   (4)

Алгоритм проверки статистических гипотез с помощью статистических критериев значимости

1.  Формулируются гипотезы H_o и H_a , причём гипотеза H_o должна быть простой. Гипотеза H_a принимается в случае, если гипотеза H_o отклоняется.

2.  Подбирается статистический критерий значимости K, который (в случае, если H_o верна) имеет заранее известное распределение.

3.  Множество возможных значений статистического критерия значимости K разбивается (с учётом гипотезы H_a ) на два непересекающихся множества: область допустимых (ОДЗ) и область критических значений (ОКЗ). Величина ОКЗ статистического критерия выбирается из условия: P{KÎОКЗ|H_o}=a.

4.  По результатам n испытаний определяется выборочное значение статистического критерия значимости .

5.  Если KÎОКЗ, то формулируется вывод: «H_o не согласуется с опытными данными, следовательно, H_o отклоняется».
Если KÏОКЗ, то формулируется вывод: «H_o согласуется с опытными данными, следовательно, оснований для отклонения гипотезы H_o нет».

Проверка гипотезы о значении МО СВ,
имеющей нормальный закон распределения с известным СКО

Пусть  x~N(M[x],s[x]), причём s[x] известно.

1. Требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]¹A_o . A_o–const.

2. Рассмотрим величину , которая (в силу центральной предельной теоремы) имеет нормальный закон распределения.   M[]=M[x]
( – несмещённая оценка M[x], т.е.  ); .

Для проверки гипотезы H_o будем использовать статистический критерий значимости , который имеет нормальный закон распределения.

Если гипотеза H_o: M[x]=A_o  верна, то

,

.

Таким образом, если H_o верна, то U~N(0,1).

3. В случае, если H_o верна, критерий U наиболее вероятно примет значение близкое к нулю. Если же верна H_a, то СВ U будет принимать очень большие или очень маленькие значения. Таким образом, малые по модулю значения критерия U будем считать допустимыми, а большие по модулю значения – недопустимыми, т.е. критическими (см. рисунок).

Учитывая симметричность f(u) относительно нуля и то, что ОКЗ – двусторонняя, границы ОКЗ статистического критерия U определяются соотношениями: P{U<–U_крит|H_o}=a/2; P{U>U_крит|H_o}=a/2.  В последнем выражении, U_крит=U_a/2 есть квантиль стандартного нормального распределения уровня a/2 (определяется по таблицам).

4. По формуле  определяется выборочное значение статистического критерия значимости .

5. Если –U_a/2<<U_a/2 , то гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается согласующейся с результатами экспериментов (оснований для отклонения гипотезы нет). В противном случае, гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается не согласующейся с результатами экспериментов, она отклоняется в пользу альтернативной гипотезы; т.е. с вероятностью 1–a можно утверждать, что справедлива гипотеза H_a: M[x]¹A_o . В случае, если ||>U_a/2 , при отклонении нулевой гипотезы возможно была совершена ошибка 1-го рода, однако вероятность такой ошибки a»0.

ПРИМЕЧАНИЕ: Если требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]>A_o  или против H_a: M[x]<A_o  пп. 1,3,5 алгоритма модифицируются.

1-а. H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]>A_o .

3-а. Если H_o верна, то критерий наиболее вероятно U=0. Если же верна H_a: M[x]>A_o, то U будет принимать большие положительные значения. ОКЗ определим как множество значений, характерных для критерия U в случае справедливости гипотезы H_a. Величина ОКЗ определяется из условия P{UÎОКЗ|H_o}=a Þ P{U>U_крит|H_o}=a Þ P{U>U_a|H_o}=a, где U_a – квантиль стандартного нормального распределения уровня a (определяется по таблицам).