Статистическая проверка параметрических гипотез, страница 5

В случае, если требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]>A_o пункты 1,3,5 приведённого алгоритма модифицируются следующим образом.

1-а. H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]>A_o .

3-а. В случае, если H_o верна, критерий U наиболее вероятно примет значение близкое к нулю. Если же верна H_a: M[x]>A_o, то СВ U будет принимать большие положительные значения. На множестве возможных значений статистического критерия U определим ОКЗ, которые являются характерными для критерия U в случае справедливости альтернативной гипотезы. Величину ОКЗ определим из условия P{UÎОКЗ|H_o}=a.

Рисунок 5.

U_крит=U_a, где U_a – квантиль стандартного нормального распределения уровня a (определяется по таблицам).

5-а. Если <U_a , то гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается согласующейся с результатами экспериментов (оснований для отклонения гипотезы нет). В противном случае, гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается не согласующейся с результатами экспериментов, она отклоняется в пользу альтернативной гипотезы; т.е. с вероятностью 1–a можно утверждать, что справедлива гипотеза H_a: M[x]>A_o . В случае, если >U_a , при отклонении нулевой гипотезы возможно была совершена ошибка 1-го рода, однако вероятность такой ошибки a»0.

В случае, если требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]<A_o пункты 1,3,5 приведённого алгоритма модифицируются следующим образом.

1-б. H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]<A_o .

3-б. В случае, если H_o верна, критерий U наиболее вероятно примет значение близкое к нулю. Если же верна H_a: M[x]<A_o, то СВ U будет принимать большие отрицательные значения. На множестве возможных значений статистического критерия U определим ОКЗ, которые являются характерными для критерия U в случае справедливости альтернативной гипотезы. Величину ОКЗ определим из условия P{UÎОКЗ|H_o}=a.

Рисунок 6.

Учитывая симметричность f(u) относительно нуля, –U_крит=–U_a, где U_a – квантиль стандартного нормального распределения уровня a (определяется по таблицам).

5-б. Если >–U_a , то гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается согласующейся с результатами экспериментов (оснований для отклонения гипотезы нет). В противном случае, гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается не согласующейся с результатами экспериментов, она отклоняется в пользу альтернативной гипотезы; т.е. с вероятностью 1–a можно утверждать, что справедлива гипотеза H_a: M[x]<A_o . В случае, если <–U_a , при отклонении нулевой гипотезы возможно была совершена ошибка 1-го рода, однако вероятность такой ошибки a»0.

Проверка гипотезы о значении МО СВ, имеющей нормальный закон распределения с неизвестным СКО

Пусть исследуемая СВ x~N(M[x],s[x]), причём s[x] неизвестно.

1. Требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]¹A_o . Другими словами, следует установить: значимо или незначимо различаются  и гипотетическое значение M[x]=A_o .

2. Для проверки указанной гипотезы используется статистический критерий значимости , где ,  – есть несмещенные оценки МО и СКО СВ x. В случае, когда верна гипотеза H_o: M[x]=A_o, статистический критерий значимости имеет распределение Стьюдента с n=n–1 степенями свободы. Таким образом, t~t(n–1).

3. В случае, если H_o верна, критерий t наиболее вероятно примет значение близкое к нулю. Если же верна H_a, то СВ t будет принимать очень большие или очень маленькие значения. На множестве возможных значений статистического критерия t определим ОКЗ, которые являются характерными для критерия t в случае справедливости альтернативной гипотезы. Величину ОКЗ определим из условия P{tÎОКЗ|H_o}=a. Учитывая симметричность f(t) относительно нуля, критические значения статистического критерия t определяются соотношением: t_крит=t_a/2, n–1 , где t_a/2, n–1  – квантиль распределения Стьюдента уровня a/2 с
n=n–1 степенями свободы (определяется по таблицам).

Рисунок 7.