Статистическая проверка параметрических гипотез, страница 2

Статистическая проверка гипотез. Основные определения

На практике задачи сравнения характеристик или закономерностей различных случайных явлений встречаются довольно часто и формулируются как задачи статистической проверки гипотез относительно видов и параметров распределений. Дадим несколько определений.

Статистическая гипотеза – непараметрическая, если в ней сформулированы предложения относительно вида функции распределения (биномиальное, геометрическое, равномерное, нормальное и т.п.). О них – на следующих лекциях (см. 2 лабор. работу).

Статистическая гипотеза называется параметрической, если в ней сформулированы предложения относительно значений числовых характеристик СВ или параметров функции распределения известного вида.

Статистическая гипотеза называется простой если она содержит предположение об единственном значении исследуемого параметра или вида функции распределения случайной величины. Примером простой гипотезы является гипотеза о равенстве значения параметра некоторому числу H_o: Q[x]=a, или о равенстве параметров двух СВ H_o: Q[x]=Q[h]. А вот гипотезы H_o: Q[x]>a, или H_o: Q[x]¹Q[h] являются сложными.

Суждение относительно истинности или ложности статистических гипотез формулируется на основании выборки объема n. При этом, наряду с выдвинутой гипотезой, которую называют нулевой и обозначают H_o, рассматривают альтернативную (конкурирующую) гипотезу, обозначаемую H_a , которую принимают в случае отклонения нулевой гипотезы.

Для примера 1 вполне естественно сформулировать следующие гипотезы: H_o: M[x_до]=M[x_после]; H_a: M[x_до]>M[x_после], где x_до и x_после значения уровней помех до и после проведённых помехозащитных мероприятий.

Для примера 2: H_o: M[x_{ош. изм.}]=0; H_a: M[x_{ош. изм.}]¹0, где x_{ош. изм.} значение ошибки измерения поверяемого прибора.

Для примера 3: H_o: M[x_теф]=M[x_обычн]; H_a: M[x_теф]¹M[x_обычн], где x_теф и x_обычн – время наработки на отказ дискет с тефлоновым покрытием и без него.

Для проверки статистических гипотез (как параметрических, так и непараметрических, как сложных, так и простых) используются вспомогательные СВ, которые имеют заранее известные законы распределения и называются статистическими критериями K.

Проверка статистической гипотезы с помощью статистического критерия заключается в разбиении области возможных значений критерия K на две непересекающиеся подобласти. Причём гипотеза отклоняется, если наблюдаемое значение статистического критерия K, полученного по результатам испытаний, будет принадлежать области критических значений (ОКЗ), в противном случае (если значение статистического критерия K, принадлежит области допустимых значений – ОДЗ) гипотеза считается согласующейся с опытными данными.

Сущность проверки статистических гипотез. Ошибки, совершаемые при проверке статистических гипотез

Здесь мы рассмотрим подробнее идею проверки статистических гипотез, дадим несколько определений.

В силу ограниченного объёма и случайности выборки, при проверке статистических гипотез могут быть совершены следующие ошибки.

Опр. Уровнем значимости a статистического критерия называется вероятность совершения ошибки 1-го рода, т.е. отклонения верной нулевой гипотезы H_o.

Опр. Принятие ложной нулевой гипотезы H_o называется ошибкой 2-го рода.

Опр. Мощностью статистического критерия называется вероятность (1–b) не совершения ошибки 2-го рода, т.е. вероятность отклонения неверной нулевой гипотезы.

Пусть для проверки гипотезы H_o относительно параметра распределения Q используется статистический критерий K. Предположим, что в случае верности H_o, функция плотности распределения K равна f(K|H_o) (см. рисунок 1). Если же верна гипотеза H_а, то статистический критерий K имеет функцию плотности f(K|H_а) (см. рисунок 1).