Статистическая проверка параметрических гипотез, страница 6

4. По формуле  определяется выборочное значение статистического критерия значимости .

5. Если – t_a/2, n–1<<t_a/2, n–1 , то гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается согласующейся с результатами экспериментов (оснований для отклонения гипотезы нет). В противном случае, гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается не согласующейся с результатами экспериментов, она отклоняется в пользу альтернативной гипотезы; т.е. с вероятностью 1–a можно утверждать, что справедлива гипотеза H_a: M[x]¹A_o . В случае, если ||>t_a/2, n–1 , при отклонении нулевой гипотезы возможно была совершена ошибка 1-го рода, однако вероятность такой ошибки a»0.

Примечание. В случае, если требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]<A_o или H_a: M[x]>A_o  ОКЗ для этих случаев выглядят следующим образом.

H_o: M[x]=A_o ; H_a: M[x]>A_o                                                   H_o: M[x]=A_o ; H_a: M[x]<A_o 

Рисунок 8.                                                      Рисунок 9.

Примечание. При n®¥  (n>50) распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному распределению.

Проверка гипотезы относительно равенства МО двух независимых СВ, имеющих нормальные законы распределения с известными СКО

Пусть x~N(M[x],s[x]), h~N(M[h],s[h]), параметры s[x] и s[h] известны.

1. Требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=M[h] против H_a: M[x]¹M[h]. Другими словами, следует установить: значимо или незначимо различаются  и .

2. Поскольку x~N(M[x],s[x]), h~N(M[h],s[h]), то ~N(M[x],), а ~N(M[h],). Рассмотрим СВ –, которая имеет нормальное распределение (как линейная комбинация величин  и , имеющих нормальное распределение). Если H_o: M[x]=M[h] верна, то . Если x и h независимы, то независимы  и . Поэтому . Рассмотрим статистический критерий , который подчиняется нормальному закону распределения. Причём, если H_o: M[x]=M[h] верна, то ; .

Таким образом, если H_o верна, статистический критерий значимости U~N(0,1).

3. В случае, если H_o верна, критерий U наиболее вероятно примет значение близкое к нулю. Если же верна H_a: M[x]¹M[h], то СВ U будет принимать очень большие или очень маленькие значения. На множестве возможных значений статистического критерия U определим ОКЗ (их две), которые являются характерными для критерия U в случае справедливости альтернативной гипотезы. Величину ОКЗ определим из условия P{tÎОКЗ|H_o}=a. Учитывая симметричность f(U) относительно нуля, критические значения статистического критерия U определяются соотношением: U_крит=U_a/2, где U_a/2 – квантиль стандартного нормального распределения уровня a/2 (определяется по таблицам).

Рисунок 10.

4. По формуле  определяется выборочное значение статистического критерия значимости .

5. Если –U_a/2<<U_a/2 , то гипотеза H_o: M[x]=M[h] считается согласующейся с результатами экспериментов (оснований для отклонения гипотезы нет). В противном случае, гипотеза H_o: M[x]=M[h] считается не согласующейся с результатами экспериментов, она отклоняется в пользу альтернативной гипотезы; т.е. с вероятностью 1–a можно утверждать, что справедлива гипотеза H_a: M[x]¹M[h] . В случае, если ||>U_a/2 , при отклонении нулевой гипотезы возможно была совершена ошибка 1-го рода, однако вероятность такой ошибки a»0.

Примечание. В случае, если требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=M[h] против H_a: M[x]<M[h] или H_a: M[x]>M[h]  ОКЗ для этих случаев выглядят следующим образом.

H_o: M[x]=M[h] ; H_a: M[x]>M[h]                                                       H_o: M[x]=M[h] ; H_a: M[x]<M[h] 

Рисунок 11.                                                     Рисунок 12.

Проверка гипотезы относительно равенства МО двух независимых СВ, имеющих нормальные законы распределения с неизвестными, но равными СКО