Статистическая проверка параметрических гипотез, страница 10

1. Требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=M[h] против H_a: M[x]¹M[h].

2. Поскольку x~N(M[x],s[x]), h~N(M[h],s[h]), то ~N(M[x],), а ~N(M[h],). Рассмотрим СВ –, которая имеет нормальное распределение (как линейная комбинация величин ~N и ~N). Если H_o верна, то ;  (если x и h независимы, то независимы  и ). Рассмотрим статистический критерий , который имеет нормальный закон распределения. Если H_o верна, то ; .

Таким образом, если гипотеза H_o верна, то критерий значимости U~N(0,1).

3. В случае, если H_o верна, наиболее вероятно, что критерий U=0. Если же верна H_a: M[x]¹M[h], то U будет принимать очень большие или очень маленькие значения. Малые по модулю значения U будем считать допустимыми, а большие по модулю значения – недопустимыми, т.е. критическими (см. рисунок).

Определим область критических значений  (ОКЗ) критерия U из условия: P{UÎОКЗ|Ho}=a.

Учитывая симметричность f(U) относительно нуля и то, что ОКЗ – двусторонняя, границы ОКЗ статистического критерия U определяются соотношениями: P{U<–U_крит|H_o}=a/2 и P{U>U_крит|H_o}=a/2, где U_крит=U_a/2 – квантиль стандартного нормального распределения уровня a/2.

4. По формуле  определяется выборочное значение статистического критерия значимости .

5. Если –U_a/2<<U_a/2 , то гипотеза H_o: M[x]=M[h] считается согласующейся с результатами экспериментов (оснований для отклонения гипотезы нет). В противном случае, гипотеза H_o: M[x]=M[h] считается не согласующейся с результатами экспериментов, она отклоняется в пользу альтернативной гипотезы. Т.е. с вероятностью 1–a можно утверждать, что верна гипотеза H_a: M[x]¹M[h] . В случае, если ||>U_a/2 , при отклонении гипотезы H_o возможно была совершена ошибка 1-го рода, однако вероятность такой ошибки a»0.

Примечание. Если требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=M[h] против H_a: M[x]<M[h] или против  H_a: M[x]>M[h]  ОКЗ для этих случаев выглядят так.

 

H_o: M[x]=M[h]; H_a: M[x]>M[h]                                  H_o: M[x]=M[h]; H_a: M[x]<M[h]

Проверка гипотезы о равенстве МО двух независимых СВ, имеющих нормальные законы распределения с неизвестными, но равными СКО

Пусть x~N(M[x],s[x]), h~N(M[h],s[h]), параметры s[x]=s[h] неизвестны.

1. Требуется проверить H_o: M[x]=M[h] против H_a: M[x]¹M[h].

где  n1 и n2 – объёмы выборок, s1 и s2 – значения несмещённых оценок СКО величин x и h. В случае, если Ho верна, t~t(n1+n2–2).

2. Для проверки H_o: M[x]=M[h] используется критерий значимости ,

3. Если H_o верна, то P{t=0}=max. Если же верна H_a, то t значительно отличается от нуля. Малые по модулю значения t считаются допустимыми, а большие – недопустимыми, т.е. критическими (см. рисунок).

Определим область критических значений  (ОКЗ) критерия t из условия: P{tÎОКЗ|Ho}=a. Учитывая симметричность f(t) и то, что ОКЗ – двусторонняя, границы ОКЗ критерия t определяются соотношением: P{t<–tкрит|Ho}=

=P{t>t_крит|H_o}=a/2, где t_крит=t_{a/2, n1+n2–2} – квантиль распределения Стьюдента.

4. Определяется выборочное значение  

5. Если ||<t_{a/2, n1+n2–2} , то H_o считается согласующейся с опытом, т.о. оснований для отклонения гипотезы нет; иначе, H_o считается не согласующейся с опытом, она отклоняется, и с вероятностью 1–a  верна гипотеза H_a .

Примечание. Если требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=M[h] против H_a: M[x]<M[h] или против H_a: M[x]>M[h]  ОКЗ для этих случаев выглядят так:

 

H_o: M[x]=M[h] ; H_a: M[x]>M[h]                                        H_o: M[x]=A_o ; H_a: M[x]<M[h]