Устойчивость линейных систем. Критерий Рауса-Гурвица. Коррекция с помощью местной обратной связи

Устойчивость линейных систем

2.1. Определение и условия устойчивости

линейных систем

Определение: линейная система называется устойчивой, если при отсутствии воздействия (g(t)=0) и любом начальном условии Y(t₀) состояние системы Y(t) стремится к нулю при t→∞.

          Из данного определения следует, что устойчивость – это свойство самой линейной системы, не зависящее от g(t). Кроме того, устойчивость линейной системы – бинарный показатель качества, принимающий одно из 2-х значений: система устойчива или система неустойчива.

          Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение линейной системы 1-го порядка:

                                     (2.1)

Решение (2.1) имеет вид:

При a₀>0 система, описываемая уравнением (2.1), устойчива, так как y(t) стремится к нулю при t→∞. Это условие устойчивости системы 1-го порядка.

           Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение системы n-го порядка:

                                          (2.2)

Анализ условий устойчивости системы, описываемой уравнением (2.2), при произвольной матрице F затруднен из-за наличия перекрестных связей. Например, при n=2 и  (f_ij – произвольные вещественные числа; i,j =1,2) система содержит два интегратора, состояние которых характеризуется переменными y₁ и y₂. Один из интеграторов (с состоянием y₁) охвачен обратной связью с коэффициентом f₁₁, а другой (с состоянием y₂) – с коэффициентом f₂₂. Коэффициенты f₁₂ и f₂₁ определяют перекрестные связи: коэффициент f₁₂ учитывает влияние y₂ на dy₁/dt, а коэффициент f₂₁ – влияние y₁ на dy₂/dt. Если матрица F имеет диагональную форму, перекрестные связи отсутствуют и анализ устойчивости системы упрощается.

          Используем линейное преобразование Y(t)=ΛY₀(t) с неособенной матрицей Λ. Тогда из (2.2) получаем

  откуда

                        (2.3)

Решение уравнения (2.3) при t₀=0  имеет вид:

Анализ условий устойчивости системы, описываемой уравнением (2.3), оказывается весьма простым при диагональной форме матрицы

Числа λ₁, λ₂, …, λ_n (в общем случае – комплексные) называются собственными значениями матрицы F. Подстановка любого из этих чисел (λ=λ_i, i=1,2,…,n) в матрицу (λI-F) превращает ее в вырожденную матрицу с нулевым определителем:

                    (2.4)

Левая часть (2.4) называется характеристическим многочленом матрицы F (матрицы F и (Λ^-1FΛ) подобны и имеют один и тот же характеристический многочлен), а само уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением системы, описываемой уравнением (2.2).

Таким образом, собственные значения матрицы F – λ₁, λ₂, …, λ_n – определяются в результате решения характеристического уравнения (2.4).

          В случае диагональной формы матрицы (Λ^-1FΛ) соответствующая ей переходная матрица также имеет диагональную форму:

.

(В этом нетрудно убедиться, разложив матричную экспоненту в ряд в соответствии с рекомендациями разд.1.12).

          В результате диагонализации матрицы (Λ^-1FΛ) в системе, описываемой уравнением (2.3), перекрестные связи отсутствуют. Это означает, что n-мерная система (2.2) распалась на n 1-мерных систем (выполнена декомпозиция системы):

         (2.5)

Возвращаемся к вектору состояния Y(t) исходной системы, описываемой уравнением (2.2):

                                                              (2.6)

где c_kl – элементы матрицы Λ; k=1,2,…,n.

          В устойчивой системе все экспоненты в правой части (2.6) должны  стремиться к нулю при t→∞, а поведение экспонент зависит от собственных значений матрицы F. Если все λ₁, λ₂, …, λ_n вещественны, то условие устойчивости записывается в виде: λ_i<0, i=1,2,…,n. Если среди собственных значений λ₁, λ₂, …, λ_n имеются комплексно-сопряженные λ_i=α_i+jβ_i и λ_i+1=α_i-jβ_i (рассматриваем случай, когда характеристическое уравнение имеет вещественные коэффициенты), то их сумма в (2.6) описывает колебательный процесс:

Этот процесс затухает при t→∞, если α_i<0.

          Следует заметить, что матрица F приводится к диагональной матрице (Λ^-1FΛ) лишь в случае, когда все собственные значения матрицы F различны. Если имеются кратные собственные значения, то матрица F приводится к канонической жордановой форме с собственными значениями на главной диагонали:

причем δ_i=1, если λ_i= λ_i+1 и δ_i=0 в остальных случаях. Диагональный блок с одинаковыми собственными значениями называется жордановой клеткой. При этом выполняется частичная декомпозиция системы с сохранением некоторых (односторонних) связей. Для собственного значения λ_i кратности k жордановой клетке     сопоставляется переходная матрица вида

поэтому строки с индексами i, i+1,…,i+k-1 в выражении (2.5) заменяются суммами:

     …………………..

Все слагаемые этих сумм при t→∞ также затухают, если λ_i имеет отрицательную вещественную часть.

          Таким образом, условие устойчивости линейной непрерывной системы, представленной в пространстве состояний, формулируется следующим образом: для обеспечения устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы F имели отрицательные вещественные части.

          Установим связь между собственными значениями матрицы F и полюсами ПФ замкнутой системы. Для этого воспользуемся полученным в разд. 1.12 выражением (1.41):

(нули q₁,…,q_mи полюсы p₁,…,p_n ПФ определены в разд. 1.2).

          Известно правило вычисления обратной матрицы: