Одним из эффективных
методов анализа нелинейных систем является решение дифференциальных уравнений.
В качестве иллюстрации рассмотрим поведение нелинейной системы ФАПЧ 1-го
порядка в установившемся режиме. Структурная схема системы показана на рис. 7.1.
Нелинейным элементом является фазовый дискриминатор, имеющий статическую
характеристику вида: где A - максимальное напряжение на выходе
дискриминатора. Величина Δωн учитывает начальную расстройку частоты
управляемого генератора, имеющего коэффициент усиления Kуг (этот
коэффициент имеет размерность град/с/в и включает в себя коэффициент усиления варикапа). Система
описывается дифференциальным уравнением:
Нас интересует ошибка в установившемся режиме,
поэтому запишем дифференциальное уравнение для ошибки (полагаем
знак δφ(t) и Δωн
существенной роли не играет):
(7.1)
Нелинейное дифференциальное уравнение (7.1) удобно
решать графическим способом (рис. 7.2). Стрелками показано направление изменения
ошибки δφ(t) (при ошибка δφ(t) увеличивается, при
- уменьшается). Прямоугольниками
обозначены точки устойчивого равновесия исследуемой динамической системы,
являющиеся решением уравнения (7.1) (из-за периодического характера дискриминационной
характеристики решения уравнения (7.1) неоднозначно).
В случае нулевой начальной расстройки по частоте (Δωн=0,
рис. 7.2, а) динамическая составляющая ошибки системы ФАПЧ равна нулю: δφ(t→∞)=0.
В случае не нулевой начальной расстройки частот (рис. 5.2, б) установившееся значение
ошибки отлично от нуля и определяется в результате решения уравнения Заметим, что для линейной статической
характеристики
имеем
(7.2)
где Δfн - начальная расстройка по частоте в Гц; Kv=AKуг – общий коэффициент усиления линейной системы ФАПЧ, имеющий размерность в∙град/с/в=с-1 (в разд. 1.7 отмечалось, что фаза формально является безразмерной величиной). Величина 2π∙Δfн представляет собой скорость изменения разности фаз φс-φг, поэтому выражение (7.2) хорошо согласуется с результатами разд. 3.
Существует такое значение Δωн= Δωу=AKуг, при котором нет точек устойчивого равновесия системы (рис. 7.2, в) и, соответственно, отсутствует конечное значение δφ(t→∞). При этом величина Δfу=Δωу/2π называется полосой удержания нелинейной системы ФАПЧ. Значение Δωу зависит от величины максимального напряжения A на выходе фазового дискриминатора и коэффициента усиления управляемого генератора Kуг: Δfу=AKуг /2π.
Таким образом, если расстройка частот входного и опорного напряжений достигнет значения Δfу, то произойдет срыв слежения. В отличие от режима слежения, когда установившееся напряжение uфд на выходе фазового дискриминатора постоянно, в режиме срыва слежения uфд не постоянно и представляет собой биения характерной формы (рис. 7.3). Несимметричная форма биений, при незначительном превышении Δωн над Δωу, объясняется действием управляемого
генератора: при uфд>0 частота опорного напряжения приближается к частоте входного напряжения, а при uфд<0 – удаляется. Если Δωн>>Δωу, быстродействие управляемого генератора оказывается недостаточным для отработки uфд и форма uфд приближается к синусоидальной.
Биения на выходе фазового дискриминатора нелинейной системы ФАПЧ также существуют в режиме захвата (начальная стадия работы системы). Если Δωн<Δωу, то наличие постоянной составляющей в напряжении uфд несимметричной формы приводит к подстройке частоты управляемого генератора с полной компенсацией Δωн , частота биений уменьшается до нуля и наступает режим слежения. Если Δωн≥Δωу, то постоянной составляющей в напряжении uфд недостаточнол для полной компенсации Δωн и в системе наблюдается устойчивый режим биений.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.