Анализ нелинейных систем. Метод гармонической линеаризации. Применение теории марковских процессов для анализа нелинейных систем, страница 12

          Решение уравнения (7.43) оказывается еще более сложной задачей в сравнении с решением уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Поэтому обычно ищут приближенное решение для гауссовской аппроксимации . При этом дифференциальное уравнение в частных производных (7.43) заменяется эквивалентной системой дифференциальных уравнений для первых 2-х моментов :

               (7.44)                                  

                (7.45)

где  представляет собой строку, а  - матрицу.

  Уравнения (7.44) и (7.45) определяют структуру и параметры системы, оценивающей компоненты G(t) с минимальной дисперсией ошибки. Приближенное решение уравнения (7.43) тем точнее, чем больше отношение сигнал/шум, выше инерционность линейной части системы и ближе априорное распределение  к гауссовскому.

Особенности алгоритма оценивания (7.44) и (7.45):

1) уравнение (7.44), определяющее структуру системы, содержит в правой части нелинейное преобразование (формирование наблюдаемой компоненты Y(t)) и совпадает с соответствующим уравнением расширенного фильтра Калмана (см. разд. 5);

2) в правой части дисперсионного уравнения (7.45) присутствует наблюдение z(t), поэтому весовой коэффициент системы   зависит от конкретной реализации z(t); в случае высокой точности оценивания (при большом отношении сигнал/шум) слагаемое в правой части (7.45), содержащее z(t), можно исключить и, тогда, уравнение (7.45) совпадет с соответствующим уравнением расширенного фильтра Калмана;

3) в случае линейного закона модуляции радиосигнала () уравнения (7.44) и (7.45) соответствуют алгоритму фильтра Калмана;

4) для вычисления производных   необходимо знать все параметры радиосигнала (информационные и неинформационные), поэтому в вектор состояния формирующего фильтра G(t) включают все неизвестные параметры и, соответственно, оценивают их (оценка неинформационных параметров радиосигнала создает благоприятные условия для оценивания информационных параметров);

5) если апостериорное распределение  полимодальное, то уравнения (7.44) и (7.45) используют  в предположении, что при поиске сигнала выделен истинный локальный максимум . 

          В качестве примера рассмотрим задачу оценивания фазы радиосигнала. Уравнение наблюдения определяется видом принимаемого радиосигнала:

где a и ω₀ – амплитуда и частота радиосигнала (полагаем их известными величинами, иначе они подлежат оцениванию); φ(t) – фаза радиосигнала (информационный параметр); v(t) – ошибка наблюдения, обусловленная шумом входных цепей радиоприемного устройства.

          Оцениваем только информационный параметр, поэтому . При этом  Необходимо задать динамику изменения оцениваемого параметра, представив его в виде марковского случайного процесса. Пусть поведение φ(t) описывается с помощью экспоненциально-коррелированного случайного процесса, определяемого уравнением:

где T – постоянная времени формирующего фильтра, характеризующая интервал корреляции φ(t); u(t) – белый шум с известной СПМ , причем дисперсия φ(t) равна  

          Вычисляем производную нелинейного преобразования h[φ(t)]:

В соответствии с (7.44) записываем алгоритм оценивания фазы радиосигнала:

(7.46)

где p_φ – дисперсия ошибки оценивания фазы.

          Рассмотрим второе слагаемое в правой части (7.46):

Используя тригонометрическое соотношение

    и фильтрующие свойства линейной части системы (пренебрегаем второй гармоникой), получаем:

                      (7.47)

где  - коэффициент усиления.

          Из (7.46) и (7.47) следует, что в системе оценивания фазы наблюдение z(t) умножается на опорный сигнал  и результат с коэффициентом K₁(t) корректирует состояние линейной части системы.

          Вычисляем 2-ю производную нелинейного преобразования h[φ(t)]:

В соответствии с (7.45) записываем дисперсионное уравнение:

Используя тригонометрическое соотношение

 и фильтрующие свойства линейной части системы, получаем:

         (7.48)

          Полагая точность оценивания фазы достаточно высокой (используется допущение о большом отношении сигнал/шум), найдем дисперсию ошибки оценивания фазы в стационарном режиме   В этом случае   а   и необходимо решить алгебраическое уравнение     

          Коэффициент усиления системы с постоянными параметрами, обеспечивающими минимум дисперсии ошибки оценивания в стационарном режиме, равен