Качество регулирования в линейных системах радиоавтоматики. Гармоническая линеаризация. Устойчивость нелинейных систем и устойчивость автоколебания, страница 8

удерживается в системе при различных отклонениях параметров системы, произошедших по любой причине.

В отличие от линейных систем, в которых ответ на вопрос об устойчивости однозначен (либо "да", либо "нет"), у нелинейных систем есть интересная особенность: в них могут отсутствовать ав­токолебания при некоторых относительно небольших внешних воз­действиях, и они при этом проявляют все внешние признаки устойчи­вых систем. Вместе с тем возможна ситуация, когда после приложения к системе воздействия большой амплитуды в ней зарождаются автоко­лебания, которые не прекращаются после снятия внешнего воз­действия. Про такие системы говорят, что они устойчивы "в малом", но неустойчивы "в большом".

Есть различные способы решения вопроса об устойчивости нели­нейных систем. В рамках данной темы мы рассмотрим в основном графоаналитический метод Л. С. Гольдфарба и лишь в конце свяжем его с характером фазового портрета нелинейной системы.

8.1. Метод X С. Годьдфарба

Методом Л. С.   Гольдфарба удобно анализировать устойчивость не- линейных  систем  и устойчивость автоколебаний в нелинейных систе­мах.   В основу метода положена идея гармонической  линеаризации  и используется   характеристическое уравнение гармонически линеаризо­ванной системы:

Кл(р) Кн₁(РА) + 1 = 0

Или, переходя к частотным функциям:

Кл(iw) Кн₁ (iw, А) + 1 = 0.                               (8.1)

Здесь Кл (iw) - частотная характеристика линейной части системы.

Такой подход четкого разделения характеристик линейной части системы Кл (iw) и нелинейной части Кн₁ (iw, А) автоматически означа­ет, что метод Л. С. Гольдфарба может быть применен только тогда, когда в структурной схеме нелинейной системы можно четко и однозначно выделить одну линейную часть и одну нелинейную часть. Если этого сделать нельзя, необходимо использовать другие методы анали­за нелинейных систем.

Для безреактивных нелинейных звеньев, где Кн₁ не зависит от частоты, уравнение (8.1) можно записать проще:

К_л(iw)K_н1(А)= -1                                           (8.2)

Фактически здесь записано условие баланса фаз и амплитуд для наличия автоколебаний в системе автоматического регулирования. В самом деле, наличие в контуре регулирования модуля усиления, равного 1, и 180⁰ фазового сдвига достаточно для автоколебаний, так

как недостающие 180° внесет сумматор системы и баланс фаз будет

обеспечен. Заслугой Л. С. Гольдфарба является то, что он предложил

удобное решение уравнения (8.2) на комплексной плоскости. Представим для этого уравнение (8.2) несколько иначе:

                                                                              (8.3)

Теперь можно на комплексной плоскости построить годограф К_л(iw), являющийся функцией частоты, и годограф - 1/К_н1(А), являю­щийся функцией амплитуды. Если оба годографа построены в одинако­вом масштабе, то точка их пересечения будет решением уравнения (8.3), так как оба вектора совпадут как по длине, так и по углу наклона к вещественной оси.

Амплитуду и частоту автоколебаний определить очень просто -аргумент функции К_л(iw) в точке пересечения дает частоту, а аргумент функции - 1/Kн₁ (A) - амплитуду автоколебаний (амплитуда на входе нелинейного элемента). Если точек пересечения несколько, то в системе возможно существование нескольких периодических про­цессов. Однако среди всех возможных в этом случае автоколебаний могут быть как устойчивые, так и неустойчивые. Для определения устойчивости автоколебаний существует простое правило: если при приращении аргумента +∆А точка годографа -1/Кн₁(А) выходит из за­мкнутой кривой Кл (iw), то такая точка является точкой устойчивых автоколебаний, а если точка на годографе - 1/Kн₁ (A) входит внутрь годографа Кл (iw), то в таком случае колебания существовать не мо­гут, ибо малейшее изменение режима приведет к лавинообразному удалению автоколебаний от неустойчивой точки.