Качество регулирования в линейных системах радиоавтоматики. Гармоническая линеаризация. Устойчивость нелинейных систем и устойчивость автоколебания, страница 2

Полученную функцию ξ (t) можно выразить графически (рис. 6. 2).

Пример 6.2. В последнем примере 6.1 заменим одно из инерционных звеньев на интегрирующее:

Сигнал управления возьмем тот же:

Х(t) = At

Решение. Передаточная функция замкнутой системы

       Отсюда дифференциальное уравнение замкнутой системы

(6.5)

Будем искать ожидаемое решение, как и в предыдущем примере:

y(t)=С₀+С₁t

Производные функции y(t):

Рис. 6. 2                                                                    Рис. 6. 3

Сравнивая рис. 6.2 и рис. 6.3, можно легко заметить, что при переходе от статической системы к астатической ошибка регулирования уменьшается при одном и том же входном воздействии x(t). В частности, если в статической системе ошибка возрастает со временем, то в астатической она постоянна и обратно пропорциональна коэффициенту усиления системы, т. е. при желании может быть снижена до необходимой величины путём повышения коэффициента усиления К.

Рассмотренный способ нахождения ошибки регулирования можно применять в ограниченных случаях, когда система имеет несложную структуру (невысокий порядок дифференциального уравнения) и при входных сигналах простой аналитической записи, когда можно более или менее удачно записать в общем виде ожидаемое решение. В иных, более сложных, ситуациях решение может быть весьма громоздким и трудоёмким, а иногда и практически невозможным.

6.2.2. Классический операторный метод определения ошибки регулирования

Как принято в операторном методе, задача решается в области Лапласовых изображений. Для определения изображения по Лапласу функции в любой точке системы берётся изображение известной функции (в данном случае – на входе системы) и умножается на передаточную функцию между входом и интересующей точкой системы. При отыскании ошибки регулирования такой точкой является выход сумматора, а такой передаточной функцией будет передаточная функция ошибки от регулирующего воздействия К_ξ x(p). Ее очень просто записать, зная передаточную функцию разомкнутой системы К(р) или замкнутой системы Ф(р).

Уравнение сумматора (см. рис. 6.1) в области изображений:

                                              ξ(р) = x(p) – y(p)                                      (6.7)

С другой стороны,

                                   Y(p) = X(p) Ф(р) = X(р)                      (6.8)

Подставляя (6.8) в (6.7) и разделяя переменные X(р) и ξ(р), получаем их отношение, являющееся искомой передаточной функ­цией ошибки:

(6.9)

или в другой форме записи:

                                (6.10)

Формула (6.10) справедлива для конфигурации рис. 6.1, где изображена следящая система, в которой выход системы совпадает с инверсным входом сумматора. Для систем иной конфигурации, где в канале обратной связи может быть звено или группа звеньев, справедлива формула (6.9). Кстати, она справедлива и для следящих систем тоже, т.е. более универсальна. Таким образом, классический операторный метод отыскания ошибки сводится к четырем операциям:

1. По известной функции х(t) находят ее изображение по Лапласу.

2. По известной структуре системы К(р) находят К_ξx(p) по фор­муле

(6. 9).

3. Перемножают: x(р)K_ξx(р)=ξ(р).

4. Обратным преобразованием Лапласа с помощью специальных таблиц, имеющихся в справочниках, определяется ξ (t). Недостатком такого метода определения ошибки является высокая трудоемкость практической работы при громоздкой структуре системы или сложных  аналитических записях функции х(t).

6. 3. Метод коэффициентов ошибки