Чисельне розв’язання звичайних диференціальних рівнянь. Різницева апроксимація диференціальних рівнянь однокроковими методами

Розділ 8

Чисельне розв’язання звичайних диференціальних рівнянь

Звичайними диференціальними рівняннями називаються  рівняння, що пов’язують функцію та її похідні з однією незалежною змінною. Якщо незалежних змінних більше, ніж одна, то рівняння називається диференціальним рівнянням з частинними похідними.

За допомогою звичайних диференціальних рівнянь будуються моделі руху систем взаємодіючих часток, електротехнічних процесів у електричних ланцюгах, кінетики хімічних реакцій, процесів заселення рівнів енергії у високотемпературних середовищах і багатьох інших об'єктів і процесів.

До задач для звичайних диференціальних рівнянь зводяться деякі задачі для рівнянь у частинних похідних, коли рівняння дозволяє провести відокремлення змінних (наприклад, при обчисленні енергетичного спектра часток у полях визначеної симетрії).

Звичайне диференціальне рівняння будь-якого порядку за допомогою заміни змінних може бути зведене до системи рівнянь першого порядку.

У загальному вигляді перетворення є таким:

диференціальне рівняння -го порядку

заміною змінних  зводяться до системи  рівнянь першого порядку

де позначено .

Відповідно до викладеного далі будуть розглядатися системи рівнянь першого порядку:

Розв’язок системи -го порядку залежить від  параметрів  Єдиний розв’язок визначається при використанні додаткових умов для шуканої функції. У залежності від того, яким чином ставляться такі умови, розрізняють три типи задач для звичайних диференціальних рівнянь: задача Коші, крайова задача і задача на власні значення.

У задачі Коші всі додаткові умови ставляться в одній точці . Розв’язок шукається на деякому інтервалі

Якщо праві частини  рівнянь неперервні в деякому околі початкової точки  і задовольняють умову Ліпшиця за змінними , то розв’язок задачі Коші існує, єдиний і неперервно залежить від координат початкової точки, тобто задача є коректною. Умова Ліпшиця формулюється в такий спосіб:

       

для будь-яких точок , де - деяка константа.

Можна виділити три класи методів розв’язання звичайних диференціальних рівнянь: точні, наближені та чисельні.

Точні методи передбачають одержання розв’язку у вигляді комбінації елементарних функцій або у вигляді квадратур від останніх. Можливості точних методів обмежені.

Наближені методи зводяться до побудови послідовності функцій , що мають границею шукану функцію . Обриваючи цю послідовність на якомусь , одержують наближений розв’язок.

Найбільш універсальними методами розв’язання є чисельні. Їхній основний недолік - можливість одержання тільки часткового розв’язку.

Варто зауважити, що успіх від застосування чисельного методу суттєво залежить від обумовленості задачі, тобто задача повинна бути добре обумовленою, а саме, малі зміни початкових умов повинні призводити до малих змін у розв’язку. У протилежному випадку (слабкої стійкості) малі похибки в початкових  даних або похибки чисельного методу можуть призводити до великих похибок у розв’язку.

Приклад. Рівняння  з початковою умовою  має розв’язок .

При  виходить розв’язок . Якщо припустити, що  не дорівнює строго нулеві, а має невелике відхилення від нуля, наприклад, , тоді при великих  буде мати місце така ситуація.

Якщо , то при збільшенні  прямує до нуля, тобто до незбуреного розв’язку. У цьому випадку розв’язок називається асимптотично стійким за Ляпуновим.

Однак при  зі збільшенням   необмежено зростає, а саме, наприклад, при  .

Таким чином, розв’язок виявляється нестійким.

Далі будуть розглядатися алгоритми розв’язку задачі Коші на прикладі одного рівняння першого порядку . Узагальнення на випадок системи  рівнянь здійснюється заміною  на  і на , де

             ,          .

8.1 Різницева апроксимація диференціальних рівнянь однокроковими методами

Виберемо на відрізку  деяку систему , значень аргумента так, щоб виконувалися співвідношення . Множину  називають сіткою, точки — вузлами сітки, величину - кроком сітки. Якщо , сітка називається  рівномірною, в іншому разі - нерівномірною. Сітковою функцією y=y_j=y(x_j) називається функція, що задана у вузлах сітки. Будь-яку сіткову функцію y_j=y(x_j) можна представити у вигляді вектора Y=(y₀, y₁, ..., y_n-1, y_n).

Нехай маємо диференціальне рівняння Lу(x) = f(x,у) (наприклад,  ) , де L – диференціальний оператор.

Замінимо Lу у вузлі сітки x_i лінійною комбінацією значень сіткової функції y_i на деякій множині вузлів сітки, яка називається шаблоном. Така заміна Lу на L_hy_h називається апроксимацією на сітці диференціального оператора L різницевим оператором L_h. Заміна неперервної функції f(x,у) у вузлах сітки на сіткову функцію f(x_h,y_h) називається апроксимацією правої частини.

У такий спосіб диференціальне рівняння можна апроксимувати (замінити) на сітці різницевою схемою

L_hy_h = f(x_h,y_h) ( наприклад, ).