Виведемо
групу явних багатокрокових формул. Для точок сітки введемо позначення і припустимо, що нам відомі числові
наближені значення
точного розв’язку
задачі (8.1)-(8.2).
З диференціального рівняння випливає
. (8.29)
До
правої частини (8.29) входить шуканий розв’язок . Але
оскільки нам відомі його наближені значення
, то ми
маємо також і величини
, (8.30)
а тому природно
замінити функцію в (8.29) інтерполяційним
многочленом, що проходить через точки
. Його
можна виразити через скінченні різниці вигляду
у такий спосіб:
(8.31)
(інтерполяційна
формула Ньютона). Тоді чисельний аналог (8.29) задається формулою , або після підстановки (8.31)
, (8.32)
де коефіцієнти задовольняють рівність
. (8.33)
Числові значення цих коефіцієнтів наведені в таблиці 8.1.
Окремі випадки формули (8.32).
Для
, виразивши різниці назад через
, одержимо такі формули:
Зауваження. Для ми
маємо явний метод Ейлера.
Таблиця 8.1
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 |
|
1 |
Похибка апроксимації явного двокрокового методу Адамса має другий порядок.
Неявний двокроковий метод Адамса виглядає так:
Похибка апроксимації має третій порядок .
8.2.3 Стійкість різницевих методів
Уведемо поняття стійкості різницевого методу. Для цього розглянемо різницеве рівняння багатокрокового методу
,
.
(8.34)
Однорідне різницеве рівняння, що відповідає (8.34), має вигляд
.
(8.35)
Вважають,
що рівняння (8.35) є стійким за початковими даними, якщо існує постійна , що не залежить від
, така, що при будь-яких початкових даних
здійснюється нерівність
,
.
Питання
стійкості за початковими даними вирішується шляхом розгляду коренів так званого
характеристичного рівняння, одержуваного з (8.35), якщо розв’язок цього
рівняння шукати у вигляді . Підставляючи таке
в (8.35) і скорочуючи на
, одержимо характеристичне рівняння для
визначення
. (8.36)
Теорема 1 Для стійкості рівняння (8.35) за
початковими даними необхідно і достатньо, щоб виконувалася так звана умова
коренів: усі корені характеристичного
рівняння знаходилися всередині або на границі одиничного кола комплексної
площини, причому на границі не повинно бути кратних коренів.
Теорема 2 Нехай ,
умова коренів виконана,
при
,
, і
різницеве рівняння (8.34) апроксимує вихідне диференціальне рівняння (8.1).
Тоді розв’язок різницевої задачі (8.34) збігається при
до
розв’язку вихідної задачі (8.1).
Інакше
кажучи, з апроксимації і стійкості за початковими даними випливає
збіжність на обмеженому відрізку .
Сформульована
умова стійкості, що базується на аналізі розміщення коренів характеристичного
рівняння (8.36), є досить загальною. Конкретизуємо питання про стійкість
різницевого рівняння стосовно до асимптотично стійких розв’язків рівняння
(8.1). Нехай ,
, тобто
.
(8.37)
Розв’язок
цього рівняння асимптотично стійкий, тобто для будь-яких справедлива оцінка
. (8.38)
Логічно вимагати, щоб і різницеве рівняння давало розв’язок, що задовольняє властивість (8.38). Використовуючи явний метод Ейлера першого порядку апроксимації, одержимо різницевий аналог (8.37)
,
, (8.39)
або , тобто
.
Оцінка
(8.38) буде виконана для (8.39) лише за умови ,
оскільки тоді
. З
випливає
обмеження на крок
:
.
Різницевий метод (8.34) називається абсолютно стійким, якщо стійкість
має місце при будь-яких , й умовно стійким, якщо
вона може бути забезпечена тільки введенням обмежень на крок
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.