Чисельне розв’язання звичайних диференціальних рівнянь. Різницева апроксимація диференціальних рівнянь однокроковими методами, страница 3

Припустимо, що початкова умова задана точно. При одержанні (8.5) у формулі Тейлора був відкинутий член, що містить .

На першому кроці, при обчисленні , отримана похибка , яка називається локальною похибкою, або похибкою на кроці.

На другому кроці обчислюється за формулою . Величина , знайдена раніше, визначена наближено. Тому сумарна похибка на другому кроці буде викликана не тільки заміною інтегральної кривої на відрізку дотичною до неї, але і помилкою, допущеною на першому кроці.

Аналогічно сумарна похибка n-го кроку залежить не тільки від заміни інтегральної кривої на відрізку дотичною, але і від помилок, допущених при обчисленні (рис. 8.2). У випадку, коли початкова умова задана неточно, сумарна похибка на будь-якому кроці буде залежати і від похибки початкової умови (8.2).

Розглянемо похибку наближеного розв’язку , знайденого методом Ейлера (рис. 8.2).

Припустимо, що функція f(x, у) з (8.1) неперервна і має неперервні перші похідні в області зміни своїх аргументів. Віднімаючи (8.5) з (8.4) , одержимо

Використовуючи формулу Тейлора, з урахуванням того, що , одержуємо

Звідси .

Рис. – 8.2

Отже, з точністю до величин більш високого порядку малості,

Таким чином,

Аналогічно

Продовжуючи цей процес, одержимо

(8.6)

Таким чином, похибка на довільному кроці m виражається через похибку .

При малих має місце така оцінка:

Аналогічно

Тут h(t) – кусково-лінійна функція, значення якої в кожному вузлі дорівнює .

Підставляючи ці вирази у формулу (8.6), одержимо оцінку похибки на довільному кроці m:

(8.7)

Вона складається з двох доданків, перший з яких обумовлений похибкою початкових даних. Якщо вони точні, =0, що і будемо припускати надалі.

Поява другого доданка пов'язана з відкиданням у рівності (8.5) залишкового члена формули Тейлора. Оцінимо цей доданок зверху.

Припустимо, що на відрізку , | , |.

Тоді

, де (8.8)

З нерівності (8.8) випливає твердження.

Якщо f(x,y) неперервна й обмежена в системі зі своїми першими похідними в області зміни своїх аргументів, то наближений розв’язок задачі (8.1) – (8.2), знайдений методом Ейлера, при збігається до точного розв’язку рівномірно на обмеженому відрізку із сумарною похибкою .

Отже, метод Ейлера має перший порядок точності.

8.1.2 Схеми Рунге-Кутта другого порядку

Невисокий ступінь точності методу Ейлера визначається перш за все тим, що залишковий член формули (8.4) . Зажадаємо, щоб . За формулою Тейлора

де залишковий член

. (8.9)

Рівність (8.9) справедлива, якщо у'’’(x) обмежена на . З (8.1) випливає

Тут треба обчислювати частинні похідні функції f(x,y), що з причин, зазначених раніше, небажано. Щоб уникнути диференціювання, замінимо виразом

де - деякі параметри. Тоді, якщо у формулі (8.9) відкинути залишок r , одержимо

або , (8.10)

де ; .

Параметри виберемо так, щоб розкладання точного розв’язку задачі (8.1)- (8.2) у вузлі і його наближення , що обчислюється за формулою (8.10), у ряди за степенями , збігалися з точністю до нескінченно малої найбільш високого порядку щодо .