Чисельне інтегрування функцій. Квадратурні формули Ньютона-Котеса. Квадратурна формула Гауса

Розділ 7

Чисельне інтегрування функцій

Задача чисельного інтегрування функції полягає в обчисленні наближеного значення визначеного інтеграла

з використанням значень підінтегральної функції  у вузлах сітки . Визначений інтеграл  представляє площу криволінійної трапеції, обмеженої кривою у=, віссю  та прямими  та .

Рис. – 7.1

У практичних розрахунках нерідко виникає потреба в обчисленні визначених інтегралів вигляду

,

де функція та вагова функція  неперервні на відрізку .

До чисельного інтегрування вдаються тоді, коли інтеграл неможливо виразити через елементарні функції або ж функція задана таблично, а також коли внаслідок інтегрування одержано незручний для використання вираз. Тоді наближають більш зручною функцією .

Найчастіше підінтегральну функцію заміняють на деякий узагальнений поліном. Тоді внаслідок лінійності такої апроксимації функцію можна записати так:

,

де - залишковий член апроксимації. Підставивши вираз  у формулу , одержимо загальну формулу чисельного інтегрування – квадратурну формулу

,

де вузли; - ваги; похибка або залишковий член квадратурної формули.

Отже, інтеграл наближено замінено на суму, подібну до інтегральної, причому як вузли, так і коефіцієнти (ваги) квадратурної формули не залежать від функції .

Будемо будувати формулу чисельного інтегрування за правилом      .

Це відношення називається квадратурною формулою. При цьому: права частина виразу  називається квадратурною сумою. Тут параметри квадратурної формули:квадратурні (вагові) коефіцієнти;квадратурні вузли.

Якщо межі інтегрування  являються квадратурними вузлами, то отримуємо формулу замкненого типу. Інакше маємо квадратурну формулу відкритого типу.

Величина  називається похибкою квадратурної формули .

Якщо для деякої функції  маємо  то квадратурна формула являється для даної функції точною.

Квадратурна формула  має алгебраїчний степінь точності , якщо вона є точною при  і не точною при  

Звідси очевидно,  що квадратурна формула степеня точності  є точною для всіх  алгебраїчних многочленів степеня не вище за , причому число  - максимальний степінь таких  многочленів.

Визначимо верхню оцінку точності для формули  при фіксованому

Лема. Степінь точності формули  не може бути вище за  при будь-якому виборі параметрів

Доведення Розглянемо довільну квадратурну формулу . Нехай  Це многочлен степеня . Оскільки  то З іншого боку,  тобто формула  в даному випадку не є точною.

Формули чисельного обчислення однократного інтеграла називаються квадратурними формулами, подвійного й більшої кратності - кубатурними.

Наближеним значенням інтеграла будемо вважати вираз , де  – наближене значення інтеграла на частковому відрізку . При цьому формула для обчислення  називається найпростішою квадратурною формулою, а формула для обчислення  – складеною квадратурною формулою.

7.1 Квадратурні формули Ньютона-Котеса

Розглянемо формули для наближеного обчислення інтегралів

.                         (7.1)

Обмежимося випадком, коли . Цей метод заснований на заміні підінтегральної функції інтерполяційним многочленом Лагранжа з вузлами, що розбивають відрізок  на рівні частини. Такі формули називаються формулами Ньютона-Котеса.

Отже, нехай задана рівномірна сітка , , . Тобто крок  – величина постійна й розбиває відрізок  на  рівних інтервалів. Формули Ньютона-Котеса - формули замкненого типу. Позначимо . За наближену функцію  оберемо інтерполяційний поліном Лагранжа

 де .

Отже, заданий інтеграл може бути поданий у вигляді

Таку квадратурну формулу називають квадратурною формулою інтерполяційного типу.

Нехай  – виражена в сіткових кроках довжина . Тоді

;

.

У такому випадку ваги можна розрахувати так:

.                                             (7.2)

Формула (7.2) остаточно визначає ваги квадратурної формули Ньютона-Котеса. Замінимо в ній  і введемо позначення . Тоді коефіцієнти

                     (7.3)

називаються коефіцієнтами Котеса. А сама квадратурна формула Ньютона-Котеса набирає вигляду

.                      (7.4)

Для коефіцієнтів Котеса мають місце співвідношення:

1  .

2  .

З’ясуємо питання про степінь точності квадратурної формули .

Нехай  алгебраїчний многочлен степеня не вищого за . Тоді, згідно з властивостями інтерполяції , тобто  Таким чином,  інтерполяційна квадратурна формула  має степінь точності не нижчий за .

Звідси можна зробити висновок, що квадратурні коефіцієнти  формули  є єдиним розв’язком лінійної системи рівнянь

яка отримана із  при

Розглянемо окремі випадки квадратурних формул Ньютона-Котеса з рівновіддаленими вузлами, в яких підінтегральна функція  замінена на інтерполяційний поліном Лагранжа різного степеня.

7.1.1 Формула середніх  (формула прямокутників)

Якщо на відрізку  взяти єдиний вузол квадратурної формули , то підінтегральна функція  апроксимується поліномом нульового степеня – сталою . У зв’язку з тим, що симетричне розміщення вузлів у чисельному диференціюванні привело до підвищення точності, за вузол  візьмемо середину відрізка інтегрування . Замінивши наближено площу криволінійної трапеції на площу прямокутника з висотою  та основою (b- a), одержимо формулу середніх