Чисельне інтегрування функцій. Квадратурні формули Ньютона-Котеса. Квадратурна формула Гауса, страница 3

К.Ф.Гаус звернув увагу, що квадратурна формула має  невідомих параметрів  та , тобто саме стільки, скільки параметрів має алгебраїчний поліном степеня . Він запропонував підбирати ці параметри так, щоб квадратурна формула була точною для підінтегральної функції  у вигляді полінома степеня, не вищого за .

Спочатку для спрощення розглянемо відрізок , тобто інтеграл вигляду

            (7.7)

Отже, знайдемо параметри  з таких умов:

            (7.8)

Це система  нелінійних алгебраїчних рівнянь відносно ,  .

Для подальшого спрощення вважатимемо, що .

Якщо  одержимо  і система  набере вигляду

із другого рівняння випливає, що , тобто дійшли відомої формули середніх для відрізка

яка є точною для будь-якого полінома 1-го степеня.

Якщо , система  матиме такий вигляд ():

Розв’язавши цю систему, знайдемо:

тобто маємо квадратурну формулу

,

яка є точною для будь-якого полінома 3-го степеня.

За довільного  як вузли квадратурної формули Гауса беруть нулі поліномів Лежандра

а ваги цієї квадратурної формули визначають за таким виразом:

              (7.9)

Маючи значення  та вузлів  на відрізку , значення інтеграла на довільному відрізку  обчислюється за такою квадратурною формулою Гауса:

Похибка квадратурної формули Гауса має вигляд

Зауважимо, що, починаючи з , і вузли, і ваги є ірраціональними числами, а кінці a і b ніколи не входять до вузлів.

Іншими прикладами квадратурних формул типу Гауса є формули Чебишева, Ерміта.

7.2.1 Квадратурна формула Чебишева

Візьмемо за основу формулу  і будемо вважати всі  квадратурні коефіцієнти однаковими:  . Тоді

.                    (7.10)

Параметри  виберемо так, щоб формула  була точною для всіх поліномів степеня не вище за  При цьому достатньо розглянути функції

Для  маємо

Покладаючи в   приходимо до системи нелінійних рівнянь для визначення квадратурних вузлів

Отримана квадратурна формула називається формулою Чебишева. Зокрема при

7.3 Стійкість квадратурного процесу. Оцінки похибки

Стійкість квадратурних формул характеризує їх чутливість до різного роду похибок. Вона безпосередньо пов'язана з поняттям збіжності квадратурних формул.

Квадратурна формула буде збіжною за умови, що залишок  при .

Крім похибки, що виникає внаслідок відкидання залишкового члена (похибки методу), виникає похибка, зумовлена виконанням дій з наближеними числами (у процесі обчислень майже завжди доводиться мати справу з наближеними значеннями , в яких правильні тільки кілька значущих цифр). Нехай, наприклад, всі значення обчислені наближено, причому абсолютні похибки їх не перевищують числа . Обчисливши за допомогою наближених значень  квадратурну суму  при точних значеннях , дістанемо похибку

.                           (7.11)

Це неусувна похибка квадратурної формули.

Отже, якщо сума  велика, то навіть незначні похибки в значеннях можуть призвести до великої похибки в наближеному значенні інтеграла. Тому практичну цінність мають лише такі квадратурні формули, для яких сума  невелика. Якщо квадратурна формула точна для , то неважко встановити умову, за якої сума набуває найменших значень. Справді, формула точна для  тоді й тільки тоді, коли  . З останнього випливає, що  матиме найменше значення, коли всі будуть додатні. Тому квадратурні формули з додатними коефіцієнтами  використовуються  найчастіше.

Отже, повна похибка чисельного інтегрування дорівнює сумі трьох похибок: похибки методу, неусувної похибки  та заключної похибки округлення результату .

Існує можливість оцінити похибку квадратурної формули до початку розв’язання задачі. Така оцінка називається апріорною. Оцінка похибки після розв’язання задачі називається апостеріорною.

Розглянемо апріорну оцінку похибки квадратурної формули Симпсона. Ця похибка графічно визначається сумою площ між кривою  та інтерполяційним поліномом Лагранжа  (дивись рисунок 7.2). Залишок найпростішої формули Симпсона . Його можна розглядати як функцію від кроку

.

Оскільки функція  , то:

;

;

,;

,;

,;

.

Залишковий член загальної формули Симпсона

.                 (7.12)

Оскільки  – неперервна на  функція, то знайдеться така точка , що

.

Оцінка похибки квадратурних формул часто виявляється малоефективною через труднощі, що виникають при знаходженні похідної підінтегральної функції :.