Регулярные функции. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана. Геометрический смысл производной

58                       ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Zo. Из (3), в частности, следует, что функция, дифференцируемая в точке Zo, непрерывна в этой точке.

Пример 1. Функция /(z)=z" (га >1—целое) дифферен­цируема во всей комплексной плоскости, так как

т    (z+Az)"—z"    т    пг"-¹^ + о (Дг)       .. ,       ,„

lim -^:————— = Inn ——————-—- = nz"-¹.     (4)

Дг^о       ^uz           Дг-»о        ^/\z

Следовательно,

(z")'=raz"-¹. Q                        (5)

Из определения производной и свойств пределов вытекает, что на функции комплексного переменного распространяются известные из курса математического анализа правила дифферен­цирования.

1. Если функции /(г) и g{z) дифференцируемы в точке z, то их сумма, разность, произведение и частное (при g{z)¥=0) так­же дифференцируемы в этой точке и имеют место равенства

(/ ± g)' = f ± g'; (cf)' = cf   (с = const),

W-fg+fg', [-}-^LjLzle-         (б):

V          /                             6

2. Если функция /(z) дифференцируема в точке z, а функ­ция F(w) дифференцируема в точке w=f(z), то функция Ф(г)=Р[/(г)] дифференцируема в точке z, причем

Ф^r(z)=F'(w)f'(z}.                   (7)

Пример 2. Из формул (5) и (6) следует, что

а) функция /(z)==z"¹, где т < 0—целое, дифференцируема во всей комплексной плоскости, кроме точки z = 0, и (z"¹)' = ==ffiz"'-¹; в частности,

(1 \'     1

с-»'—)--у

б) многочлен   Рд (г) = aoZ" + ffliZ""¹+.. .+a„-iZ+a„—диффе­ренцируемая во всей комплексной плоскости функция и

Рп (z) == па^-¹ + (п — 1) а^-^ + . .. + 2д,г-гг 4- a„-i;

,                   .           р, ,    Рп (^г)

в) рациональная функция Л (z) = „——— имеет производную

*'т ^   )

во всех точках, где (^(z^O, причем формула для Д'(г) имеет тот же вид, что и соответствующая формула для действитель­ных х. U

В определении производной содержится требование, чтобы предел (1) не зависел от способа стремления Az к нулю. Это накладывает на дифференцируемую функцию комплексного пе­ременного значительно более сильные ограничения, чем на диф-

§ 7. УСЛОВИЯ КОШИ—РИМАНА                 59

ферепцируемую функцию действительного переменного. В § 12 будет доказано, что функция комплексного переменного, диффе­ренцируемая в области, обладает производными всех порядков в этой области.

В § 4 было отмечено, что непрерывность функции комплекс­ного переменного f(z}==u(x, y)+iv(x, у} в точке z==x+iy рав­носильна непрерывности функций ц и и в точке (х, у}. Анало­гичное утверждение не имеет места для дифференцируемое™. Именно, требование дифференцируемости функции / (z) = и + iu налагает дополнительные условия на частные производные функ­ций и п v.

2. Условия Коши — Римана.

Теорема 1. Для того чтобы функция f(z)==u(x, y}+ +iv{x, у) была дифференцируема в точке z=x+iy, необходи­мо и достаточно, чтобы

1) функции и{х, у} и v(x, у) были дифференцируемы, в точ­ке (х, у);

2) б точке (х, у) выполнялись условия Коши — Римана

ди _ ду    ди _    ду                     ,q^ Тх' ~ ~ду~* ~ду' ~ ~~ ~д^'                   ^\ '

Для производной f (z) справедлива формула

/•(^-n-l—S—^-     w

Доказательство. Необходимость. Пусть функция jf(z) дифференцируема в точке г. Тогда в силу (3) имеем

A/-f(z)Az+e(p),                (10)

где в (р') == о (р)  при р ->- 0. Здесь обозначено р=1Ай|= ==^ (&x)'ⁱ+(^y)². Функция е(р) комплекснозначная, представим ее в виде е(р)= gi(p)+ie2(p), где функции ei(p), Ба(р) прини­мают действительные значения. Так как ——->-0 при р-^-0, то

ei(P)   „ е (р) —-—-»-0, —-——->~0 при р-»-0, и поэтому

е.(р)=о(р), е,(р)=о(р)  (р-0).          (11)

Обозначим А/=Дц+гЛр, f(z)==A+iB и подставим в (10), тогда получим