Теорема 2. Для диффервнцируемости функции f (z) = и + + iv в области D необходимо и достаточно, чтобы функции и(х, у) и v(x, у) были сопряженными гармоническими в этой области.
Зная одну из функций и(х, у}, v{x, у), можно в односвязной области найти другую функцию.
Теорема 3. Для всякой функции и{х, у), гармонической в односвязной области D, можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию, которая определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Доказательство. Так как и(х, у)—гармоническая в односвязной области D функция, то
д ! ди \ _ д ! ди\ ~ду~[~~ду')~~дх'[дх J'
ди , , ди 1 и следовательно, выражение—-д— их +-»—ау является полным
дифференциалом некоторой однозначной функции v(x, у), определяемой с точностью до произвольного постоянного слагаемого С формулой (§ 6, п. 2)
(ж,у)
v(x,y)= J -^-dx+^rdy+C. (22) . (Vo)
Здесь (ху, г/о)е0 и (ж, y}^D (интеграл не зависит от кривой, соединяющей точки (а-о, г/о) и (х, у), а зависит лишь от точки (ж, у), если точка (а:о, г/о) фиксирована). Из (22) имеем
ди ди 9v _ ди ~д^ ~ ~ду'' ~ду ~ "a^'1
откуда следует, что и(х, у}—гармоническая в области D функция, сопряженная с и (х, у).
Из теорем 2 и 3 следует, что если задана гармоническая функция и(х, у} в односвязной области D, то можно найти, с точностью до постоянного слагаемого, дифференцируемую в
§ 7. УСЛОВИЯ КОШИ—РИМАНА 63
области D функцию f(z)=u+iv, т. е. восстановить дифференцируемую функцию по заданной ее действительной (или мнимой) части. Если область D многосвязна, то функция v, определяемая интегралом (22), а также функция f(z)==u+iu могут оказаться неоднозначными.
Отметим, что при нахождении функции v (х, у) по заданной. функции и(х, у} (или наоборот) часто бывает более удобным вместо формулы (22) непосредственно использовать условия Коши -^ Римана (см. пример 5).
Пример 5. Найдем дифференцируемую функцию /(z), если
Re/(z)=u(a", y}=ys-3xгy.
Функция и = у3 — За;3;/ является гармонической во всей комплексной плоскости. Имеем
ди ди „
-ду-^^-г^-6^'
откуда
v=-3xy^+g(x). (23) Из (23) находим
^=-3y^+g'(x). (24) С другой стороны, в силу (8) получаем
-ё--!—-3^3"2- (25)
Сравнивая (24) и (25), находим g' (х) = За;2, откуда g(x)'=xз+ + С, где С — действительная постоянная, и из (23) получаем v = —Зжу2 + х3 + С. Искомая функция
/ (z) = и + iv = у3 - ^у + i {х3 - Зху2) + iC = i (z3 + С)
дифференцируема во всей комплексной плоскости. Q
4. Понятие регулярной функции. Введем одно из основных понятий теории функций комплексного переменного — понятие регулярной функции.
Определение 1. Пусть функция f(z) определена в окрестности точки z== а (а^оо) и разлагается в ряд
/(z)= I c„(z-a)», (26)
п==о
сходящийся в некоторой окрестности точки z = а (т. е. в круге |z—al<p, p>0). Тогда функция /(z) называется регулярной в точке z = а.
Функция /(z) называется регулярной в области D, если она регулярна в каждой точке области D.
64 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Теорема 4. Если функция f(z) регулярна в точке z=a, то она дифференцируема в этой точке.
Доказательство. По условию, степенной ряд (26) сходится в некоторой окрестности точки а, откуда следует, что /(а)=Со. Рассмотрим отношение
-"й^^»^-)-. ст
п=1
Так как ряд (27) равномерно сходится в круге |z—a|sSpi<p, то его сумма непрерывна в этом круге и в правой части (27) можно почленно перейти к пределу при z -> а (более подробно теория степенных рядов будет изложена в § 11), и этот предел равен d. Поэтому существует предел и левой части (27) при z ->- а, т. е. существует // (а) = c^.
Замечание 1. В дальнейшем (§ 12) будет показано, что функция, дифференцируемая в области, регулярна в этой области.
00
Пример 6. Функция -,—— = ^, г" регулярна в точке z = О
i — Z ^и" п=0
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.