Регулярные функции. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана. Геометрический смысл производной, страница 14

составленный из производных членов ряда (6). В силу следст­вия 2 ряд (7) сходится равномерно в круге -Ki: lz|sS Л» < Д и его сумма S (z) непрерывна в K-i. Покажем, что функция /(z) дифференцируема в круге Ki и

S(z)=f (z).(8)

Пусть ^ — произвольная кривая, лежащая в круге Ki и соеди­няющая точки 0 и z. Тогда (§ 9)

С ъ    z^¹

.)^=Й-Г о

Следовательно,

J² rf-¹^ = c„z", п = 1, 2, ...             (9> о Интегрируя почленно по кривой ^ (п. 2 § 5) равномерно

сходящийся ряд (7) и учитывая, что интеграл j S(Qdt, не за-

о висит от пути интегрирования, получаем

f S (Q dt = 2 \ rf-¹^ = S c„z".(10> o'          "=4            ^та-¹

§ 12. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ              89

Из (10) и (6) находим

z

j'5(Qd£==/(z)-c„.                  (11) о

2

В силу следствия 3 § 9 функция j S (Q df, является первооб-

0

разной для функции S(z) и, следовательно, S{z)=f'(z). Таким образом, функция /(z) дифференцируема в круге Ki и имеет место равенство (8), т. е. ряд (6) можно почленно дифферен­цировать в круге Ki. Но радиус 7?i круга Ki можно взять сколь угодно близким к R, •а поэтому ряд (6) можно почленно диф­ференцировать в круге К.

Операцию почленного дифференцирования, очевидно, можно применить к ряду (6) любое число раз. Теорема доказана.

Следствие 3. Коэффициенты с„ степенного ряда

/(z)=ic„(z-a)",                    (12)

n=o

сходящегося е круге К: ]z—а\ < R (R^O), определяются формулами

c,=f(a), cn=^f^{n=i,2, ...).            (13)

Доказательство. Применяя теорему 2 к степенному ря­ду (12), получаем

/("'(z)=»!c„+(ra+l)!c„^(z-a)+...        (14)

для всех z е К. Полагая в (14) и (12) z = а, приходим к фор­мулам (13).

Из формул (13) вытекает единственность разложения функ­ции в степенной ряд.

00

V¹ f^ (a) Степенной ряд J^ -—,-— (z -^ а)" называется рядом Тейлора

71=0

функции /(г). Таким образом, всякий степенной ряд (12) в его круге сходимости есть ряд Тейлора суммы этого ряда.

§ 12. Свойства регулярных функций

Определение регулярной функции было дано в § 7 (п. 4). В этом параграфе будет доказана эквивалентность понятий диф­ференцируемое™ п регулярности в области и рассмотрены свой­ства регулярных функций.

1. Регулярность дифференцируемой в области функции. Теорема 1. Если функция /(z) дифференцируема в обла­стиD, то она регулярна в этой области.

90                        ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Доказательство. Пусть z = а — произвольная точка об­ласти D. Рассмотрим круг К: |z—a]<p, p>0, лежащий в об­ласти D вместе со своей границей у. 1Е; — al = р. Пусть z— произвольная точка круга К. В силу интегральной формулы Коши

«^srJ^.                 (.)

•ур

Разложим функцию г—— в ряд (геометрическую прогрессию) по степеням z — а:

1  -          ¹          - У ^-^            (2)

t~z~         I    z-a\    AJ (г_д)П+1-          ^ ^te        (S-a) l-.——a     ^та==0"    ^/ \    -^>    /

Если t, e= tp, то

ic    i       г—a|  | z— a\ ^ , l^-a|==p,   ^|=—p-l<l,

и, следовательно, ряд (2) сходится равномерно по £; на окруж­ности 'у? (признак Вейерштрасса). Ряд

^i^^-'r,         (з)

^э        n=0 '-'    '

полученный из ряда (2) умножением на /(£;), также сходится равномерно на •Ур, так как функция /(Е;) непрерывна и, следова­тельно, ограничена на ^„. Интегрируя почленно по 'Yp ряд (3),. в силу равенства (1) получаем

/(z)= ic„(z-a)»,                  •   (4)

n=o

где

с -J_   f      f^    dt                   (5) '"^лг   J   (£-a)"+¹ -'•                   ^v' l£-a|=p^\-'    ^/

Ряд (4) сходится в круге К: |z—al<p, а это означает, что функция /(z) регулярна в точке а. Так как а—произвольная точка области D, то функция /(z) регулярна в области D. Тео­рема доказана.

Из теоремы 1 и теоремы 4 § 7 вытекает