Регулярные функции. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана. Геометрический смысл производной, страница 11

Так как функция /(z) имеет непрерывную производную в обла­сти D, то частные производные первого порядка функций и, v непрерывны в области D и выполняются условия Коши — Ри-мана

ди _ ди   ди _   ду                       ,п\ Jx ⁼ ~ду '  ~ду ^{= —} ~дх'                      ^\ '

В силу сформулированной в § 6 (п. 2) теоремы из (2) следует,

что Ji = js == 0. Таким образом,  / (z) dz = J^ + iJ^ == 0. •v

2. Теорема Коши (общий случай).

Теорема 2   (интегральная теорема Коши). Пусть функция f{z) дифференцируема в односвязной области D. Тогда интеграл от f(z) no любой замкнутой кривой "f, лежащей в области D, равен нулю:

|/(г)й2=0.                       (3)

7

Доказательство. Приведем доказательство интегральной теоремы Коши, принадлежащее Гурса.

1. Докажем сначала теорему для случая, когда кривая "f является контуром треугольника, лежащего в области D. Прове­дем доказательство от противного. Пусть теорема неверна. Тогда найдется треугольник (контур этого треугольника и сам тре-

76                    ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

угольник обозначим символом Д) такой, что

\^f(z)dz =a>0.                  (4) 1д

Соединив середины сторон треугольника А (рис. 42) отрез­ками прямых, разобьем его на четыре треугольника А¹"' (& = = 1, 2, 3, 4). Заметим, что

2 J /(z)dz=J/(z)dz.                (5)

^k"¹ д(й)             Д

В самом деле, левая часть (5) равна сумме, состоящей из интеграла по контуру треугольника А и интегралов, взятых два

раза (в противоположных направ-

/\                   лениях) по каждой стороне тре-/   \v                угольника А¹⁴' (эти интегралы II л¹" ^\^   •           взаимно уничтожаются).

у -    ^\^                 Из равенств (4) и (5) следует, ^   _^   \<            что по крайней мере для одна-Л~<7\          го из интегралов в левой части / \^    ^ / N.         (5)   (обозначим   соответствую-//    ^\ "  f I    ^<     щий треугольник Ai) справедлива

У J""^   ' ^   \   ^опенка

—————     "————   ^\              С f (z) dz > ^          (6)

Рис.42                       ^

так как в противном случае

а= J/(z)dz <^ J f(z)dz <4^-=а,

Д             h=l д(Ь)

т. е. а < а, что невозможно.

Далее, разбивая треугольник Ai указанным выше способом на четыре треугольника и повторяя предыдущие рассуждения, найдем такой треугольник Л2, что

j/(^ >^.

^

Продолжая этот процесс, получаем последовательность тре­угольников {Л„} такую, что каждый треугольник Ал содержит треугольник An+i (ra=l, 2, ...) и имеет место неравенство

J„= J/(z)dz >^.                .(7)

Дп

§ 9. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ               77

Формула (7) дает оценку снизу для /п. Найдем для 7„ оцен­ку сверху. Пусть Р — периметр исходного треугольника; тогда периметр Рц треугольника An равен Р/2" и, следовательно, Рп -*--г 0 (ге-^-оо). Таким образом, последовательность треугольни­ков {An) является стягивающейся: каждый треугольник An со­держит все последующие треугольники An+i, An+z, ..., и пери­метр треугольника An стремится к нулю при п ->- °°. Отсюда сле­дует, что существует единственная точка Zo, лежащая внутри или на границе треугольника А и принадлежащая всем треугольни­кам Ai, Az, ... По условию, точка z» принадлежит области D. Так как функция f(z) дифференцируема в точке Zo, то

/(z)=/(Zo)+f(Zo)(z-Z,)+o(z-Zo),

откуда J/(z)dz=

Дп

= / (г„) J dz + f (z„) J z dz - z,f (z,) J dz + f о (z - z,) dz.   (8)

Дп          Дп            Д»     Дп

Так как Jz = 0, \,z dz =0 (§ 5, примеры 1, 2), то из равенства

Дп       Дп

(8) имеем

\f(z)dz= ^o(z-z,)dz.                (9)

Дп         Дп

Из определения величины o(z—Zo) следует, что для любого е>0 найдется 6=б(е) такое, что для всех z: 1г—Zol<6 имеет место неравенство