Регулярные функции. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана. Геометрический смысл производной, страница 16

§ 12. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЯ               93

Из теоремы 2 и п. 3 § 7 вытекает

Следствие 5. Гармоническая в области функция беско­нечно дифференцируема.

3. Достаточные условия регулярности. Теорема 1 утвержда­ет, что достаточным условием регулярности функции /(z) в области D является дифференцируемость этой функции. Рас­смотрим другие достаточные условия.

Теорема 3 (теорема Морера). Пусть функция /(z) непрерывна в односвязной области D и пусть интеграл от функ­ции f(z) no любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен нулю. Тогда функция f(z) регулярна в области D.

Доказательство. В силу следствия 3 § 9 функция f(z) имеет первообразную, т. е. существует дифференцируемая функ­ция F(z) такая, что F'(z)==f(z) для всех z e D. Согласно тео­реме 1 функция F (г) регулярна в области D, и, следовательно, ее производная—регулярная в D функция, т. е. функция/(z)== == F' (z) регулярна в области D.

Теорема 4 (первая теорема Вейерпгтрасса). Пусть функции fn[z) (п = 1, 2, ...) регулярны в области D, и пусть ряд

/(г) =2/„(г)                        (9)

n=l

равномерно сходится в каждой замкнутой области, лежащей в D. Тогда функция /(z) регулярна в D.

Доказательство. Пусть Zo — произвольная точка обла­сти D. Рассмотрим круг К: lz—Zol < б, лежащий вместе со своей границей в области D. По условию, ряд (9) равномерно сходится в К, а значит, и в К. Кроме того, функции /n(z) (п == = 1, 2, ...) регулярны и, следовательно, непрерывны в К. По­этому функция /(z) непрерывна в К как сумма равномерно схо­дящегося ряда, составленного из непрерывных функций.

Пусть "f — любой замкнутый контур, лежащий в круге К. Интегрируя почленно равномерно сходящийся на у ряд (9), получаем

f/(z)dz= I J/„(z)dz. ,        "=i„

По интегральной теореме Коши /n(z)riz==0 (га = 1, 2, ...) и,

Г              ^v следовательно, ) / (z) dz = 0. В силу теоремы Морера, функция

v

/(z) регулярна в круге К и, в частности, в точке Zy. Так как Zo—произвольная точка области D, то функция /(z) регулярна в области D. Теорема доказана.

94                    ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Теорема 5 (вторая теорема Вейерштрасса). В условиях предыдущей теоремы ряд (9) можно дифференци­ровать почленно любое число раз. Получаемые при этом ряды равномерно сходятся в каждой замкнутой области Д, лежащей в области D.

Мы ограничимся формулировкой второй теоремы Вейер­штрасса (доказательство ее содержится, например, в .[11]).

Другие достаточные условия регулярности, относящиеся к интегралам, зависящим от параметра, будут даны в § 15.

В заключение п. 3 приведем краткую сводку основных свойств регулярных функций. Заметим, что наряду с термином «регулярная функция» в литературе используются другие экви­валентные термины:

{регулярная функция} ^{голоморфная функция}==

^{однозначная аналитическая функция}.

Критерии (необходимые и достаточные условия} регулярно­сти функции f(z) в области D:

1) дифференцируемость функции /(z) в области D;

2) условия Коши — Римана.

Достаточные условия регулярности функции /(z) в области D дают теорема Морера и первая теорема Вейерштрасса. Свойства регулярных функций:

1) сумма, разность, произведение регулярных функций /(z) и g'(z), а также их частное (при g(z)^O) и суперпозиция яв­ляются регулярными функциями;

2) регулярная функция бесконечно дифференцируема;

3) для регулярной функции справедливы интегральная тео­рема Коши и интегральная формула Коши;

4) первообразная регулярной в одпосвязной области функ­ции регулярна.

4. Некоторые приемы разложения в степенной ряд. Всякая функция /(z), регулярная в круге |z—а|<р, разлагается в сходящийся в этом круге (см. следствие 3 из теоремы 1) сте­пенной ряд

/(z)= 1с„(2-а)",                    (10)