Поля. Алгебраические операции для элементов поля. Комплексное число. Алгебраическая форма записи комплексного числа

Поля

Def: Полем называется множество элементов F = {α ,β ,γ ,…} для которых определены 2 алгебраические операции: сложение и умножение, так что сумма и произведение двух любых элементов α, β, принадлежащих F снова принадлежат F. Причем выполнены следующие условия (аксиомы):

                        A1.  α+β=β+α для " α,β Î F (коммутативность)

                        А2. (α+β)+γ = α+(β+γ)  для " α,β,γ  Î F(ассоциативность сложения)

                        А3. $ нулевой элемент θ, обладающий свойствами α+θ=α для " α Î F

                        А4. $ противоположный элемент (–α): α+(-α)=θ для " α Î F

                        B1. α*β =β*α для " α,β Î F

                        B2. (α*β)*γ=α*(β*γ) для " α,β,γ Î F

                        B3. $ единичный элемент 1 Î F 1*α =α для " α Î F, 1≠θ

                        B4. $ обратный элемент (α^-1) Î F: α*α^-1 = 1 для " α Î F, α≠θ

C1. α*(β+γ)=α*β+α*γ для " α,β,γ  Î F (дистрибутивность умножения относительно сложения)        

Операции сложения и умножения для элементов поля являются алгебраическими, т.е. являются бинарными, однозначными и замкнутыми.

Следствия из аксиом поля:

1.  В F $ единственный нулевой элемент θ

2.  Для " α Î F $ единственный противоположный элемент (-α)

3.  α+(-β)=α-β (определение вычитания). Вычитание обратно сложению.

4.  -(α+β)=(-α)+(-β)

5.  В F $ единственный единичный элемент.

6.  Для " α Î F (α≠θ) $ единственный обратный элемент α^-1

7.  (α*β)^-1=α^-1*β^-1 (α≠θ, β≠θ)

8.  α*β^-1 = α/β (определение деления)

9.  θ*α = θ для " α Î F

10.  –α = (-1)*α

Примеры полей:

Поле вещественных чисел R, поле комплексных чисел C, поле рациональных чисел. Примечание: целые числа не образуют поля, т.к. при делении выходим из мн-ва.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара z=(a,b) действительных чисел со следующими св-вами:

1⁰. Два комплексных числа z₁=(a₁,b₁) и z₂=(a₂,b₂) равны тогда и только тогда, когда a₁= a₂ и b₁= b₂.

2⁰.Сумма двух комплексных чисел z₁=(a₁,b₁) и z₂=(a₂,b₂) определяется след. образом: z₁+ z₂=(a₁,b₁)+(a₂,b₂)=( a₁+a₂,b₁+b₂).

3⁰. Вычитание двух комплексных чисел z₁=(a₁,b₁) и z₂=(a₂,b₂) определяется  как операция, обратная сложению: z₁–z₂=(a₁,b₁)-(a₂,b₂)=(a₁-a₂,b₁-b₂).

4⁰. Произведение двух комплексных чисел z₁=(a₁,b₁) и z₂=(a₂,b₂) определяется след. образом: z₁z₂=(a₁,b₁)(a₂,b₂)=( a₁a₂-b₁b₂, a₁b₂+ a₂b₁).

5⁰. Деление двух комплексных чисел z₁=(a₁,b₁) и z₂=(a₂,b₂) определяется как операция, обратная произведению: z₁/z₂=(a₁,b₁)/(a₂,b₂)=((a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²),(a₂b₁-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)), при a₂²+b₂²≠0.

Алгебраическая форма записи комплексного числа: i=(0,1)(i – мнимая единица), ¶=(1,0)(¶ - единичный вектор) z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+ib; а – действительная часть комплексного числа z(Re z), b – мнимая часть комплексного числа z(Im z). Тригонометрическая форма записи комплексного числа: z=a+ib получается при использовании связи декартовых и полярных координат (a=r cosφ, b=r sinφ), т.е. z=r(cosφ+i sinφ). При этом полярный радиус r называется модулем комплексного числа z (обознач. |z|), полярный угол φ – аргументом комплексного числа z (обознач. Arg z). Модуль и аргумент комплексного числа выражается через его действительную и мнимую части след образом: r=|z|=; cosφ=a/; sinφ=b/.

Главным значением аргумента комплексного числа (обознач. arg z) считают такой его аргумент φ, что –π<φ≤π, если z≠0, и φ=0, если z=0. arg z=arct b/a, если a>0;=arctg b/a+π, если a<0, b>0;=arctg b/a-π, если a<0, b<0.

Arg z=arg z+2kπ, kÎZ. z₁z₂=r₁r₂(cos(φ₁+φ₂)+isin(φ₁+φ₂)); z₁/z₂=r₁/r₂(cos(φ₁-φ₂)+isin(φ₁-φ₂)).

=(a,-b)=a-ib –  комплексно-сопряженное с z число. 1.

2.

3.

4.

5.

Матрицы. Действия с ними.

Def: Совокупность чисел α_ij Î F, расположенных в виде таблицы размера mxn называется матрицей.

                        , если m=n то матрицу называют квадратной порядка m

Матрицы А, В считаются равными, если α_ij=β_ij. ,. Матрица В называется произведением матрицы A на λ, если каждый элемент Î B получен путем умножения каждого элемента матрицы А на λ.

Свойства матриц.

1.  1*A= A

2.  θ*A= 0 (нулевой матрице)

3.  λ*(μ*A)=(λ*μ)*A для " λ, μ Î F

Def: Пусть А,В,С – матрицы одинаковых размеров. C=(γ_ij) называется суммой А и В, если выполняется условие γ_ij=α_ij+β­_ij ,.

Свойства:

1.  А+В=В+А

2.  А+(В+С)=(А+В)+С

3.  (А+0)=А (0-нулевая матрица)

4.  -1*А= -А                      А+(-А)=0

5.  (λ+μ)*A=λ*A+μ*A

6.  λ*(A+B)=λ*A+λ*B

7.  A+A=2*A

8.  (–λ)*A=-(λ*A)    -(A+B)=-A-B                             -(-A)=A

Def: Пусть есть матрица А, у которой m строк и n столбцов, и матрица В, у которой n строк и k столбцов. Для того, чтобы можно было умножать, надо чтобы число столбцов первой матрицы совпадало с числом строк второй.