Поля. Алгебраические операции для элементов поля. Комплексное число. Алгебраическая форма записи комплексного числа, страница 7

Теорема №2: Произвольную систему из k линейно независимых векторов f₁,…, f_k, где k<n можно дополнить до базиса n-мерного пространства L.

Док-во: пусть e_1,…,e_n  - базис L, если бы кажд. из векторов e_1,…,e_n  был лин. комб. век.f₁,…, f_k, то (по Т. 0)имело бы место нер-во k≥n, а у нас k<n, значит, среди e_i найд. хотя бы 1 век., не явл. лин. комб. f₁,…, f_k, пусть таким век. будет e_i1, добавим его в…(ХЗ)...получ. л/н сист. из k+1>n, e_i1, если k+1<n, то действия аналогично: построим л/н сист. из k+2 векторов, а именно f₁,…, f_k, и e_i1,e_i2, пока не получ. базис.

Линейной оболочкой L(x₁,…, x_m) системы векторов x₁,…, x_m называется множество всех ее лин. комб.

Множество L’ векторов лин. пр-ва L назыв. подпр-вом этого пр-ва: 1) если сумма луб. 2-х век. из L’ принадлежат L’ и 2) произведение кажд. век. из L’ на люб. число и поля F также принадлежит L’. Пр. подпр-в: все векторы из Rⁿ, у котор. перв. и последн. координаты равны между собой; все векторы из Rⁿ вида (a,β,a,β,a…), где a и β – действ. числа; все симметричные матрицы порядка n; все кососимметричные матрицы порядка n (кв. матрица A=(a_ij) назыв. кососимметричной, если a_ij =-a_ji для люб. i, j).

Сумма и пересечение подпространств

Подпространством  L₁ линейного пространства L называется совокупность элементов из L таких, что сами они образуют линейное пространство. Относительно введенных в L операций сложения векторов и умножения вектора на число. Другими словами L₁ÎL является подпространством, если из того, что x и y Î L₁ следует, что (x+y)ÎL₁, (λx)ÎL₁

Суммой (L₁+L₂) подпространств называется множество векторов z вида: z=x+y, где xÎL₁, yÎL₂, zÎL. Пересечением подпространств (L₁ÇL₂) называется множество z, одновременно принадлежащих L₁ и L₂.

Теорема№1: Для любых двух конечномерных подпространств L₁ и L₂ конечномерного пространства L имеет место равенство:

dim(L₁ÇL₂) + dim(L₁+L₂) = dimL₁ + dimL₂

Д-во: через r₁, r₂ размерность dim L₁=r₁, dim(L₁ÇL₂)=m; в можно выбрать базис с₁,…, с_m базис (L₁ÇL₂); по Т.№2(см. выше) найд. такой век. a₁,…,a_k, что сист. a₁,…,a_k, с₁,…, с_m будет базисом L₁, соотв. в пр-ве L₂ найд. такие b₁,…,b_p, что сист. b₁,…,b_p, с₁,…, с_m будет базисом L₂; r₁=k+m, r₂=p+m, m+(k+m+p)=(k+m)+(p+m); если мы док-м, что сист. век. a₁,…,a_k, , с₁,…, с_m, b₁,…,b_p(1)явл. базисом подпр-ва L₁+L₂, то утв. теоремы будет иметь место; кажд. вектор из подпр-в L₁, L₂ лин. выраж. через векторы своего базиса и тем более лин. выраж. через векторы сист. (1), поэтому через эти векторы будет лин. выраж и люб. векю. из L₁+L₂. Остается показать, что сист. век. (1) л/н; a₁a₁+…+a_ka_k+γ₁c₁+…+γ_mc_m+β₁b₁+…+β _pb_p=θ; bÎ(L₁+L₂); ясно bÎL₂; b=ν₁c₁+…+ ν _mc_m; b+(-b)=β₁b₁+…+β _pb_p+(-ν₁)c₁+…+(-ν _m) c_m=θ; β₁=…=β _p=ν₁=…=ν _m=0; a₁=…=a_k=γ₁=…=γ_m=0;

Прямая сумма подпространств

Пусть имеем такие подпространства L_1, L₂, …, L_m некоторого линейного пространства L, что L=L₁+L₂+…+L_m, (1)  т.е. вектор xÎL представим как x=x₁+x₂+…+x_m (*) x_i Î L

В общем случае такое представление вектора не единственно, если "xÎL допускается единственное представление *, то сумма (1) называется прямой суммой и обозначается L=L₁L₂…L_m (2)

Таким образом 2 справедливо, если:

1) "xÎL существует разложение

x = x₁+…+x_m , x_i Î L_i , i=1,m

2) Это разложение единственно

x = x₁+…+x_m   x = y₁+…+y_m,   x_i  = y_i

Теорема№1: Для того, чтобы пространство K было прямой суммой своих подпространств L₁,…, L_m необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов этих подпространств составляло базис всего подпространства.