Поля. Алгебраические операции для элементов поля. Комплексное число. Алгебраическая форма записи комплексного числа, страница 2

А_mxn*B_nxk=C_mxk

Свойства:

1.  А*В=В*А

2.  А*(В*С)=(А*В)*С

3.  (A+B)*C=A*C+B*C

4.  C*(A+B)=C*A+C*B

5.  λ*(A*B)=(λ*A)*B=A*(λ*B)

Любые квадратные матрицы порядка n можно складывать, умножать и умножать на число.

Def:  Квадратная матрица А называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю, т.е. . Сумма и произведение диагональных матриц – снова диагональная матрица.

Def: Диагональная матрица с диагональными элементами равными единице, называется единичной и обозначается I (или E).

                        А*I=A=I*A

Определение и простейшие свойства определителей.

Пусть дана квадратная матрица А, состоящая из n строк и n столбцов. Рассмотрим всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. В силу того, что α_ij Î F, в котором операция умножения коммутативна, мы можем упорядочить сомножители по номерам столбцов; в результате получим произведение вида , в котором i₁,…,i_n – номера строк после перестановки сомножителей. Очевидно, что i₁,…,i_n – некоторые перестановки чисел 1,2,..,n. Условимся брать произведение 1 со знаком «+» или «-» в зависимости от четности или нечетности числа инверсий последовательности i₁,…,i_n.

Def: Инверсией (беспорядком) последовательности i₁,…,i_n называют такое расположение индексов, при котором старший индекс стоит впереди младших. Число всех беспорядков последовательности обозначается N(i₁,…,i_n).

Def:  Определителем матрицы А называется сумма всевозможных произведений вида 1 со знаком (-1)^N(i1,…,in).

Будем считать положительным направлением для строк: слева направо, для столбцов: сверху вниз. Отрезки, соединяющие два каких-либо элемента матрицы, так же могут указывать направление. А именно, будем говорить, что отрезок, соединяющий элемент α_ij с α_kl имеет положительный наклон, если его правый конец расположен ниже левого, и отрицательный наклон, если его правый конец выше, чем левый. Мысленно проведем все отрезки, соединяющие попарно (1), имеющие отрицательный наклон. Ставим знак «+», если число таких отрезков четно, и знак «-» в противном случае.

Свойства определителей:

Def: , полученная из заменой строк на столбцы с теми же номерами, называется транспонированной по отношению к матрице А.

1.  detA=detA^T. Оба определителя состоят из одних и тех же членов, поэтому  нам достаточно доказать что одинаковые члены  в определителях матриц А и А^Т имеют одинаковые знаки. Очевидно, что транспонирование квадратной матрицы сводится к ее повороту на 180 градусов вокруг диагонали. Каждый отрезок с отрицательным наклоном переходит в отрезок с отрицательным наклоном, поэтому число отрезков с отрицательным наклоном, соединяющих элементы данного члена после транспонирования не изменятся. Следовательно, не изменится и знак этого члена. Поскольку знаки всех членов сохранятся, величина определителя останется прежней. Рассмотренное свойство устанавливает равноправие его строк и столбцов. Поэтому дальнейшие свойства определителей будем формулировать и доказывать только для столбцов. При этом следует помнить, что для строк они также будут иметь место.

2.  Антисимметрия столбцов: под антисимметрией столбцов понимают свойство определителя менять свой знак при перестановке двух столбцов.

3.  Определитель, имеющий два одинаковых столбца равен нулю. Переставляя эти одинаковые столбцы, мы не изменим определитель, но с другой стороны, по свойству 2 он должен изменить свой знак.

4.  Линейное свойство определителя. Если все элементы j-го столбца определителя D представимы в виде α_ij=λ*β_i+ μ*γ_i для всех i=1..n, то определитель D=λ*D₁+ μ*D₂. Причем у определителей D1 и D2 все столбцы, кроме i-го и j-го такие же, как у определителя D,а i-ый столбец в определителе D1 состоит из чисел βi, а D2 – γ_i

5.  Общий множитель всех элементов некоторого столбца можно вынести за знак определителя. Dj(α_ij­)=Dj(λ β_i)=λ D_j(βi)