Д-во: запишем рассматриваемую сист. в виде A
=0 и обознач. ее неизвестные через x1,…, xn.
Поскольку размерность пр-ва = числу векторов в базисе этого пр-ва, утв. будет
док-но, если построить фундамент. сист. реш. системы A=0, содержещую n-k векторов. Решая
дан. сист. методом искл. неизвестн., получ. равносильн. ей сист.: {x1=a1k+1xk+1+…+a1nxn,…,xk=akk+1xk+1+…+aknxn(1) (для упрощения рассуждения считаем, что свободными
явл. именно неизвестные x1,…, xn; это всегда можно добиться, изменив нумерацию
неизвестных.) При решении сист. указанным способом производятся элементарные
преобразования строк матрицы сист., не меняющие ранга, поэтому число уравн. в
сист. (1) равна рангу матрицы A. Чтобы
получ. частн. реш. сист.(1), будем придавать одному из свободных неизвестных в
прав. части сист. (1) значение 1, а остальным 0. Получим векторы (значения
котор. записанны в столбик!!!)
=(a1k+1,a2k+1,…,akk+1,1,0,…,0); 
=(a1k+2,a2k+2,…,akk+2,0,1,…,0); 
=(a1n,a2n,…,akn,0,0,…,1), которые явл. реш. сист. (1)
и образуют л/н сист. Эта сист. явл. базисом в пр-ве всех реш. сист. уравн. (1),
если кажд. реш. сист. (1) представимо в виде лин. комб. найденных реш-й.
Докажем, что это справедливо. Используем след. наблюдение: для люб. двух реш. 
, i=1,2,
системы (1) из 
следует, что 
. Действительно, придавая свободным неизвестным
xk+1,…,xn
в уравн. сист. (1) люб. фиксирован. значения, мы всегда получим однозначно
определенные значения неизвестных x1,…,xk. Докажем теперь, что произвольн. реш. 
=(β1,…,βn)Т системы (1) можно представить
в виде лин. комб. век-ов 
,…,
. В самом деле, вектор 
= βk+1
+…+ βn
также
явл. реш. этой сист., причем последние n-k компонент векторов 
и совпадают. Согласно
сказанному ранее 
=. Мы
доказали, что сист. <
,…,
> явл. базисом в пр-ве решений
рассматриваемых сист. лин. уравн. Размерность этого пр-ва = числу век-ов в этой
сист., т.е. n-k.
Фундаментальн. сист. реш. однородн. СЛАУ: любой базис подпр-ва решений однородн. сист. лин. уравн. назыв. фундаментальн. сист. реш. этой системы.
Общее решение xнобщ неоднородн. сист. представимо в виде суммы общего реш. xообщ соответствующей однородной сист. и к.-л. частного реш. xнчаст неоднородн. сист. xнобщ=xообщ + xнчаст.
Определение Евклидова пространства. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского.
Будем говорить, что в вещественном пространстве L определено скалярное произведение, если каждой паре векторов (x,y)ÎL поставлено в соответствие действительное число, обозначенное следующим образом: (x,y)ÎR при этом:
1) (x,y)=(y,x) "x,yÎL
2) (λx,y) = λ(x,y) "x,yÎL, λÎR
3) (x+y,z) = (x,z) + (y,z) "x,y,z Î L
4) (x,x)>0 x≠q
(x,x)=0 x=q
Линейное пространство L с введенным скалярным произведением называется Евклидовым и обозначается E
Неравенство Коши-Буняковского: для люб. 2-х векторов x и y произвольного Евклидова пр-ва Е справедливо нер-во Каши-Буникокского(-Шварца) (x,y)2 <= (x,x)(y,y)
Д-во: рассмотр. (lx-y,lx-y)=(lx-y,lx)-(lx-y,y)=(lx,lx)-(y,lx)-(lx,y)+(y,y)=l2(x,x)-(y,lx)-(lx,y)+(y,y)=(x,x)l2-2(x,y)l+(y,y)≥0; D=4(x,y)2-4(x,x)(y,y)≤(ХЗ)
Теорема№1: Неравенство Коши-Буняковского обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы x и y – коллинеарны.
Д-во: достаточность: пусть векторы x и y коллениарны (т.е. x=ly), тогда (x,y)2=(ly,y)2=l2(y,y)2=(x,x)(y,y);
необходимость: пусть для нек. (x,y) вып. рав-во, показ. колен. y=q; если y≠q, то выбер. l в соотв. с форм. l=(x,y)/(y,y); (x-ly,x-ly)=(x,x)-l(y,x)-l(x,y)+l2(y,y)=l2(y,y)-2l(x,y)+(x,x)=(x,y)2(y,y)/(y,y)2-2(x,y)2/(y,y)+(x,x)=-(x,y)2/(y,y)+(x,x)=-(x,y)2+(x,x)(y,y)/(y,y)=-(x,y)2+(x,y)2/(y,y)=q/(y,y)=q.
Терема: в люб. конечномерном действ. лин. пр-ве можно ввести скалярн. произвед.
Нормированное пространство
Линейное пространство L называется нормированным, если каждому xÎL ставится в соответствие вещественное число ||x||, которое называется нормой или длиной вектора x и при этом выполняются следующие три аксиомы нормы:
1) ||x|| > 0, если x≠q
||x|| = 0, если x=q
2) ||λx|| = |λ| ||x|| "λÎR, "xÎL
3) Неравенство треугольника:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.