Достаточность: дано либо e1=q, либо ek=β1e1+…+βk-1ek-1; нужно д-ть, что вся сист. л/з; рез-т вытекает из Лемм 2 и 3.
Элементарные преобразования сист. векторов: а) перестановка двух векторов системы; б) умножение вектора системы на ненулевое число; в) прибавление к одному вектору системы другого вектора, умноженного на произвольное чмсло;
Д-во: пусть e1,…,en л/н, если e1+le2,…,en, a1(e1+le2)+…+anen=q; a1e1+(a1l+a2)e2+…+anen=q; a1=0; a1l+a2=0; …; an=0=>л/н системы не изменилась. Тоже самое проделать и с л/з.
Эквивалентные системы векторов. а) Доказать, что если каждый из векторов линейно независимой системы x1,…, xm линейно выражается через векторы другой системы y1,…, yn, то m<=n. б) Доказать, что эквивалентные линейно независимые системы состоят из одного и того же числа векторов. База и ранг системы векторов.
Пусть даны две системы векторов x1,…, xm и y1,…, yn из линейного пространства L.
Две системы векторов обладающие тем свойством, что каждый вектор в каждой системе линейно выражается через векторы другой системы, называются эквивалентными.
Доказательство а): По условию теоремы xm линейно выражается через векторы y1,…, yn. Следовательно вся система xm,y1,…, yn линейно зависима. xm≠q. Поэтому некоторый вектор y является линейно комбинацией предшествующих векторов. Исключив этот вектор, мы получим такую систему:
xm, y1, …, yi-1, yi+1, …, yn
Используя транзитивность понятия линейной комбинации, легко показать, что каждый из векторов x1,…, xm линейно выражается через векторы новой системы. Добавим xm-1
xm-1, xm, y1,…, yi-1, yi+1, …, yn
Это линейно зависимая система: xm-1≠q. Поэтому, один из остальных векторов системы является линейной комбинацией предшествующих векторов.
Этим вектором не может быть xm, т.к. в этом случае была бы линейно зависимой система из 2-х векторов xm-1, xm. Следовательно и вся система векторов. Таким образом, некоторый вектор yg линейно выражается через предшествующие. Если мы исключим его, то опять получим систему, через которую линейно выражается каждый из векторов x1,…, xm. Продолжая этот процесс можно заметить, что y1,…, yn не могут быть исчерпаны раньше, чем мы присоединим все векторы x1,…, xm. В противном случае окажется, что некая подсистема x1,…, xm является линейной комбинацией всей системы, т.е. система xi линейно зависима. Поскольку это противоречит условию теоремы -> n>=m
Доказательство б): Пусть x1,…, xm и y1,…, yn две эквивалентные системы векторов. Тогда имеем, что n<=m, n>=m -> n=m
Базой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсист. векторов. В общем случае база не единственна, но все базы состоят из одного и того же числа векторов, которое называется рангом.
Базис линейного пространства
Линейное пространство L называется n-мерным, если в нем существует система из n линейно независимых векторов и всякая система из большего числа векторов линейно зависима. dim L = n
Если в L существует линейно независимая система, содержащая сколь угодно большое число векторов, то линейное пространство называется бесконечномерным.
Конечномерная система векторов x1,…, xm называется базисом линейного пространства L, если она:
1) Линейно независима
2) Через нее линейно выражается любой вектор из L
Теорема №0: если кажд. из векторов л/н сист. x1,…, xm лин. выраж. через векторы др. сист. y1,…, yn, то m≤n.
Теорема №1: Разложение любого вектора xÎL по данному базису единственно.
Док-во: предположим противное и x можно разложить по базису x=β1e1+…+βnen; x+(-x)=a1e1+a2e2+…+anen+(-β1)e1+…+(-βn)en=(a1-β1)e1+…+(an-βn)en=θ→ai=βi 
i=1,…,n. Следствие:
все координаты вектора вбазисе
=0. Рассмотрим действия над векторами заданными своими координатами в нек.
базисе e1,…,en пр-ва
L. Пусть x в этом базисе имеет коорд. y=(β1…βn), тогда x+y=(a1…an)+(β1…βn)=(a1e1+…+anen)+(β1e1…βnen)= (a1+β1)e1+…+(a1+β1)e1; при слож. 2-х векторов в лин. пр-ве, коордигаты относ.базиса складыв, а при умнож. всех корд.
умнож. на это число.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.