6) a) (a-b)*x = ax - bx
б) a(x-y) = ax - by
7) a*qL = qL
8) (a*x) = q -> a = 0F или x = qL
Примеры линейных пространств:
1) Арифметическое линейное пространство: Fn = {x=(x1, x2, x3, …, ) | xI Î F, i=1,n}
x - координаты вектора x
y = (a1,…, an) ai Î F
Тогда:
x+y = (x1+a1, …, xn + an )
λx = (λx1, … , λxn)
Если поле вещественных чисел, то вместо Fn пишется Rn
2) Mn (R) = {f(t) = a0 + a1tn + a1t n-1 + … +an | aI Î R }
Линейные комбинации, линейные оболочки, линейная зависимость. Пусть дано L от поля F. Выберем конечную систему векторов и числа ai Î R, где i=1,n .
Линейной комбинацией векторов e1,…,en с коэффициентами a1,…, an называется сумма произведений y = a1e1+…+anen
При этом говорят, что y линейно выражается через векторы ei , i=1,n .
Зафиксируем систему e1,…, en и позволим коэффициентам линейной комбинации a1,…, an
принимать любые значения из поля F. В результате получим некоторое множество векторов из L, которое называется линейной оболочкой векторов e1,…, en и обозначается L (e1,…, en) = a1e1 + … + anen , aI Î z
Она легко строится и сама является линейным пространством:
x = λ1e1 + λ2e2 +…+ λnen; x+y = (a1+λ1) e1 + (a2 + λ2) e2 +…+ (an + λn) en; x+y Î L(e1,…, en)
Линейная зависимость:
Рассмотрим линейное пространство:
Какой-либо вектор линейно выражается через остальные вектора. Пусть это будет e1, тогда во всей линейной комбинации a1e1 + … + an en мы можем построить e1 = b2e2 + … + bnen и произвольная линейная комбинация e1, e2 ,…, en представима соответственно комбинацией векторов e2,…, en . Если среди векторов e2,…, en некоторый вектор, например, e2 снова линейно выражается через остальные, то, повторяя рассуждения, получим, что линейная комбинация e1,…, en является линейной комбинацией e3,…, en . Продолжая этот процесс перейдем от системы e1,…., en к системе векторов, из которой уже нельзя исключить ни одного вектора. Линейная оболочка новой системы будет совпадать с линейной оболочкой векторов e1,…, en. Кроме того, если среди векторов e1,…, en был хотя бы один ненулевой вектор, то новая система векторов либо состоит только из одного ненулевого вектора, либо никакой из ее векторов не выражается линейно через остальные. Такая система называется линейно независимой. Если система векторов не является линейно независимой, то она линейно зависимая. Система, состоящая только из q будет линейно зависима.
Лемма 1: если не все векторы из сист. e1,…, en нулевые и эта сист. л/з, то в ней можно найти л/н подсист., лин. оболочка котор. совпадает с L(e1,…, en).
Лемма 2: если нек. подсист. сист. векторов e1,…, enл/з, то и вся сист. л/з.
Лемма 3: если среди векторов e1,…, en есть хотя бы 1 нулевой, то вся сист. e1,…, en л/з.
Теорема: система e1,…, en линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства нулю линейной комбинации этих векторов следует равенство нулю всех коэффициентов линейной комбинации.
Д-во: необходимость: пусть сист. e1,…, en л/н; предположим, что =0 лин. комбинации возможно при нек наборе коэффициентов среди которых имеется хотя бы один ненулевой. Пусть таковым явл. a1, тогда e1=(-a2/a1)e2+…+(-an/a1)en, e1 линейно выражается через остальные векторы сист., что противоречит усл. л/н сист. векторов e1,…, en =>a1=0;
Достаточность: покажем, что если равенство 0 лин. комбинации векторов e1,…, en влечет за собой =0 коэффициентов a1…an, то сист. векторов не может быть л/з. Предположим противное и пусть, например, e1 лин. выражается через остальные e1=β2e2+…+ βnen; (-¶)e1+ β2e2+…+βnen=0; a1=(-¶)≠0;
Теорема: система векторов e1,…, en линейно зависима тогда и только тогда, когда либо e1 = q, либо ek (2≤k≤n) явл. линейной комбинации предшествующих векторов.
Д-во: необходимость: предположим, что если e1,…,en линейно зависимы, тогда в равенстве a1e1+a2e2+…+anen=q не все коэффициенты равны нулю и пусть последний ненулевой коэффициент есть ak. Если k=1, это означает, что e1=q. Если k>1, то из соотношения находим: ek=(-a1/ak)e1–(a2/ak)e2-…-(ak-1/ak)ek-1=>ek лин. не выражается через остальные.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.