Теоретические основы параметрических методов обработки экспериментальных данных (Раздел 2 учебного пособия "Статистические методы обработки экспериментальных данных")

2. теоретические основы параметрических методов обработки экспериментальных данных

2.1. Основные понятия

Параметрические методы обработки экспериментальных данных опираются на основополагающий факт, в соответствии с которым свойства результатов экспериментальных исследований, рассматриваемых как случайные объекты, описываются некоторым законом распределения. При этом предполагается, что анализ экспериментальных данных позволяет с достаточной степенью точности определить вид и конкретную форму закона распределения или значения его параметров, если нет необходимости в использовании самого закона. Такая информация даёт возможность в полном объёме использовать методы теории вероятностей для решения задач обработки.

Так как действительный закон распределения и значения его параметров неизвестны, то параметрические методы оперируют с их приближениями – статистическими законами распределения и оценками параметров распределения.

Статистическим законом распределения случайной величины  называется закон распределения данной величины, установленный с помощью статистических методов обработки данных.

Статистический закон распределения может быть определён в виде статистической функции распределения , статистической плотности распределения  или статистического ряда распределения P^*(x_i), .

Статистическими оценками параметров закона распределения случайной величины называются приближённые значения данных параметров (статистики), полученные с помощью статистических методов обработки данных.

В дальнейшем статистические оценки для краткости называются просто оценками.

Если некоторый закон распределения характеризуется параметрами a₁,  a₂,…, a_m, то их оценки будем обозначать в виде , ,…,. Наиболее распространёнными видами параметров законов распределения при обработке экспериментальных данных являются математическое ожидание , дисперсия  или среднее квадратическое отклонение , а для системы случайных величин – корреляционный момент  или коэффициент корреляции . Иногда используются центральные моменты третьего и четвёртого порядков. Соответственно при обработке данных используются их статистические аналоги – оценки математического ожидания, корреляционного момента и т.д.

Таким образом, если имеется совокупность экспериментальных данных x₁, x₂,…, x_n, то и статистический закон распределения, например функция , и оценки его параметров представляют собой некоторые функции этих данных:

                                           ;              (2.1.1)

                                     ,   .        (2.1.2)

Вид статистик y и f_j определяет качество оценок  и . В связи с этим возникает ряд проблем, основной из которых является проблема определения условий, при которых оценки (2.1.1) и (2.1.2) могут с требуемой достоверностью представлять теоретические законы распределения и их параметры. Эти условия формируются предельными теоремами теории вероятностей. Именно они служат тем фундаментом параметрических методов обработки экспериментальных данных, на основе которого могут быть получены подходящие оценки законов и параметров распределения наблюдаемых характеристик.

Вторая проблема состоит в выборе достаточной статистики, т.е. такой статистики, которая позволяет в конкретных условиях получать оценки заданного качества. Так как на основе результатов наблюдений x₁, x₂,…, x_n может быть образован большой спектр статистик (2.1.1) и (2.1.2), данная проблема сводится к выбору из них оптимальной в определённом смысле статистики. Решение проблемы осуществляется методами теории статистических решений.

Как видно из рис.1.1, к проблеме принятия решений при обработке экспериментальных данных сводится не только задача выбора достаточной статистики. Большинство задач обработки данных в разной степени может быть отнесено к задачам принятия решений. В связи с этим фундаментом параметрических методов обработки служат также принципы принятия статистических решений, на основе которых сформированы критерии принятия оптимальных в определённом смысле решений. Особую роль среди данных принципов играет принцип максимального правдоподобия и вытекающий из него для случая нормального закона распределения метод наименьших квадратов.

В настоящей брошюре рассматриваются вопросы параметрической обработки экспериментальных данных.

2.2. Предельные теоремы теории вероятностей

Использование параметрических методов обработки данных предполагает выявление условий, определяющих справедливость априорных предположений о виде закона распределения исследуемой случайной величины и свойствах его параметров. Эти условия формулируются в виде предельных теорем теории вероятностей. Ниже излагаются содержание и сущность теорем без доказательства, а также некоторые рекомендации по их практическому применению.