Одной из важнейших задач обработки данных является задача оценивания (экспериментального определения) вероятностных характеристик случайных объектов.
Пусть – случайная величина,
характеризующая свойство исследуемого объекта. Требуется на основе случайной
выборки
,
,…,
выработать объективное суждение о
вероятностных свойствах случайной величины
.
Как было указано в § 1.3, любая функция случайной выборки
(3.1.1)
называется статистикой. Если статистика (3.1.1) используется в качестве приближения неизвестной вероятностной характеристики (закона или параметра распределения) случайной величины, то её значение
, (3.1.2)
полученное в результате обработки экспериментальных данных по формуле (3.1.2), называется оценкой этой характеристики.
Известно, что исчерпывающей характеристикой вероятностного поведения
случайной величины является закон её распределения
или
.
Поэтому основной целью в рассматриваемой здесь задаче является построение
закона распределения случайной величины
по экспериментальным
данным, т.е. его представление как функции выборки
,
которая может служить в качестве оценки функции , обладающей требуемой точностью и
надёжностью (достоверностью).
В общем случае функция зависит
как от своего аргумента, так и от параметров распределения:
.
Параметрическая обработка данных опирается на предположение
о том, что класс распределений, которому принадлежит функция , априорно известен. Конкретные значения
параметров A<m> этого распределения, выделяющие
его в рассматриваемом классе, неизвестны. Тогда оценивание функции
сводится к оцениванию её параметров A<m>,
т.е. к отысканию такой статистики
,
которая обеспечивала бы приближённое равенство
.
Поскольку вся информация об исследуемом объекте содержится в выборке объёма n, то для однозначного решения задачи статистического оценивания m параметров требуется выполнение условия n > m.
В качестве критериев оценивания истинных значений характеристик используются соотношения следующего вида:
. (3.1.3)
или
(3.1.4)
где ,
–
нижняя и верхняя границы интервалов;
,
– границы m-мерных
областей.
Оценивание вероятностных характеристик в соответствии с критерием (3.1.3) называется точечным, а в соответствии с критерием (3.1.4) – интервальным. Строго говоря оценки всегда являются точечными. Что же касается интервальных оценок, то их назначение - характеризовать качество точечных оценок.
Предположим, что распределение однопараметрическое,
т.е. A<m> = A<1> = a. Принятое
допущение позволяет существенно повысить наглядность рассуждений, которые без
затруднений распространяются на случай многопараметрического распределения.
Кроме того, будем считать, что класс распределений, которому принадлежит
функция
, известно, но неизвестно значение
параметра a. В этом случае задача оценивания
функции распределения
сводится к оцениванию параметра,
т.е. к определению соотношения вида
,
где – оценка параметра a.
Поскольку результаты наблюдений
над случайной величиной
априори являются случайными,
то случайной оказывается и оценка
:
.
В общем случае ¹ a,
следовательно, и после получения оценки
параметра
a его неопределённость для исследователя полностью
не снимается. В то же время исследователь даёт вероятностное суждение об истинном
значении a согласно результату эксперимента так,
чтобы соответствовать ему наилучшим (в некотором смысле) образом. Оценка будет
объективной характеристикой параметра, если она удовлетворяет требованиям
несмещённости, состоятельности и эффективности.
Оценка параметра a называется несмещённой, если её математическое
ожидание равно оцениваемому параметру:
. (3.1.5)
Если , то оценка называется смещённой.
Оценка параметра a называется состоятельной, если она сходится
по вероятности к оцениваемому параметру:
, (3.1.6)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.