Оценивание законов распределения случайных величин (Раздел 4 учебного пособия "Статистические методы обработки экспериментальных данных")

4. оценивание законов распределения СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Оценками законов распределения случайных величин являются статистические законы распределения. Их построение осуществляется на основе информации, содержащейся в выборке .

В дальнейшем, в рамках раздела 4 предполагается, что выборка  простая, т.е. повторная выборка из распределения

                                              ,

где A_<m> - вектор параметров распределения.

4.1. Статистические ряды распределения

При проведении серии испытаний экспериментальные данные (выборка) представляются в виде табл.4.1, которая называется простым статистическим рядом.

Таблица 4.1

Простой статистический ряд

Номера испытаний	1	2	3	…	i	…	n
Варианты признака	x1	x2	x3	…	xi	…	xn

Если элементы случайной выборки упорядочены по возрастанию, т.е.

                                         x₁ £ x₂ £ x₃ £…£ x_i £…£ x_n,

получаемая таблица называется вариационным рядом.  Разность    w_n = x_n – x₁  между наибольшим и наименьшим элементами вариационного ряда называется размахом выборки.

Вариационный ряд является простейшей формой статистического закона распределения, который определяется в результате эксперимента.

Если наблюдаемый случайный признак является дискретным, или точность измерений ограничена, или результаты наблюдений округляются, значения некоторых вариантов признака в выборке могут совпадать. Множества совпадающих вариантов наблюдаемого признака называются связками. Из этого следует, что различные варианты могут появляться с разной частотой.

Таблица 4.2

Вариационный ряд с вариантами различной частоты

Варианты признака	x1	x2	x3	…	xl	…	xn
Частота вариантов	m1/n	m2/n	m3/n	…	ml/n	…	mn/n

В табл. 4.2 представлен вариационный ряд, в котором m_l – число появлений в выборке варианта x_l;  – частота варианта x_l, . Такой ряд можно рассматривать как ряд распределения некоторой дискретной случайной величины.

Пример 4.1. Проведены испытания 12 однотипных микросхем и с точностью до 1 часа зарегистрировано время  безотказной работы каждой из них. Результаты испытаний сведены в простой статистический ряд.

Таблица 4.3

Простой статистический ряд (к примеру 4.1)

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
ti, ч	30	108	36	69	117	161	143	500	108	135	89	36

На основе простого статистического ряда, табл.4.3, построен вариационный ряд.

Таблица 4.4

Вариационный ряд (к примеру 4.1)

l	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
tl, ч	30	36	36	69	89	108	108	117	135	143	161	500

Массив данных в табл. 4.4 может быть представлен вариационным рядом с частотами вариантов.

Таблица 4.5

Вариационный ряд с частотами вариантов (к примеру 4.1)

tl, ч	30	36	69	89	108	117	135	143	161	500
	1/12	2/12	1/12	1/12	2/12	1/12	1/12	1/12	1/12	1/12

Из табл.4.5 видно, что в выборке содержатся две связки, в каждую из которых входит  два варианта.

По распределению величины  – времени безотказной работы  микросхем, можно судить о распределении генеральной совокупности, тем точнее и надёжнее, чем больше объём n выборки.

При большом объёме выборки из генеральной совокупности, наблюдаемый признак которой имеет непрерывное распределение, вариационный ряд (табл. 4.2) становится громоздким. В этом случае диапазон наблюдаемых вариантов x_i разбивают на интервалы, называемые разрядами, вычисляют частоты  попадания вариантов случайной величины  в эти разряды и представляют результаты в виде табл. 4.6. Эта таблица называется интервальным вариационным или  статистическим рядом случайной величины .

Таблица 4.6

Интервальный вариационный ряд

Jl	x1; x2	x2; x3	…	xl; xl+1	…	xr; xr+1
ml	m1	m2	…	ml	…	mr
			…		…

В представленной таблице J_l = [x_l; x_l+1) – l-й разряд; m_l – число значений (вариантов) случайной величины , попавших в l-й разряд;  x_l;  x_l+1 – границы l-го разряда; r – число разрядов;  = m_l/n = P^*(x_l £ x_i< x_l+1), .