Методы статистического оценивания. Постановка задачи оценивания законов и параметров распределения случайных величин (Раздел 3 учебного пособия "Статистические методы обработки экспериментальных данных"), страница 2

где n – объём выборки.

Очевидно, что состоятельной может быть только несмещённая оценка. Поскольку согласно известному неравенству Чебышева

                                            ,                        

то из выражений (3.1.5) и (3.1.6) следует, что

                                                     ,                                 

т.е. с ростом объёма выборки дисперсия состоятельной оценки стремится к нулю, и наоборот, если с ростом n дисперсия стремится к нулю, то оценка  состоятельная.

Несмещённая оценка[1] параметра a называется эффективной, если её дисперсия минимальна:

                                         ,            (3.1.7)

где  – оценка параметра a с помощью статистики k-го вида.

Если равенство (3.1.7) выполняется только в пределе при n ® ¥, то соответствующая оценка называется асимптотически эффективной. Из последнего определения следует, что состоятельная оценка асимптотически эффективна.

Оценки, удовлетворяющие всем трём перечисленным требованиям, называются подходящими значениями оцениваемых параметров. На практике достичь совместного выполнения всех трёх условий (3.1.5), (3.1.6) и (3.1.7) удаётся не всегда, так как формулы для вычисления эффективной и несмещённой оценки могут оказаться слишком сложными. Поэтому для упрощения расчётов нередко используются незначительно смещённые и не вполне эффективные оценки. Однако, выбор той или иной оценки должен опираться на её критическое рассмотрение со всех указанных выше точек зрения.

Следует отметить, что определение эффективной оценки имеет аналитическое выражение (3.1.7) лишь в случае оценивания единственного параметра распределения . Если число m оцениваемых параметров (a₁, a₂,…, a_m)^Т = A_<m> больше единицы, то в качестве характеристики рассеяния их оценок  должна использоваться обобщённая дисперсия

                                                 .                    (3.1.8)

В правой части соотношения (3.1.8) определитель корреляционной матрицы вектора  оценок параметров A_<m>. Более полное раскрытие понятия обобщённой дисперсии можно найти, например, в монографии [6].

Ещё раз подчеркнём, что следует различать две фазы оценивания вероятностных характеристик случайных объектов: априорную (доопытную) и апостериорную (послеопытную). На первой фазе оценки рассматриваются как функции случайной выборки и, следовательно, сами случайны. На второй фазе они не случайны, так как представляют собой функции выборки (реализации случайной выборки), элементы которой не случайны. Очевидно, что все требования к оценкам как законов, так и параметров распределения случайной величины предъявляются на первой фазе их оценивания, т.е. априори.

3.2. Качество статистического оценивания

Как отмечалось в § 3.1, при обработке данных принято различать точечное и интервальное оценивание вероятностных характеристик случайных объектов. Однако, строго говоря, собственно оценки ,  и т.п., представляющие практический интерес, могут быть только точечными и определяются приближёнными равенствами типа (3.1.3). Что касается оценок (3.1.4), то они оценивают не характеристики ,  A_<m>, а интервалы, в которых эти характеристики могут находиться, а могут и не находиться. Последнее утверждение обосновывается тем, что статистики , , ,  априори случайны (как функции случайных аргументов – элементов случайной выборки ). Поэтому ясно, что интервальное оценивание сугубо вероятностное и служит для характеристики качества точечного оценивания. Компонентами, которые характеризуют это качество, являются точность и надёжность (достоверность).