Методы статистического оценивания. Постановка задачи оценивания законов и параметров распределения случайных величин (Раздел 3 учебного пособия "Статистические методы обработки экспериментальных данных"), страница 6

В  выражении (3.3.6) величина t_b - квантиль нормированного нормального распределения:

   или   .

Значения функции t_b  приведены в приложении 4.

Если необходимые точность e и надёжность b заданы, то потребное для их обеспечения число  n_b,n  испытаний находится из уравнения (3.3.6):

                                   ,     (3.3.8)

Формулы (3.3.5) – (3.3.8) определяют решения трёх основных задач исследования качества статистического оценивания (см. § 3.2) применительно к оценке вероятности случайного события по его частоте в серии n независимых однородных испытаний.

Из соотношения (3.3.8) видно, что потребный объём выборки обратно пропорционален квадрату максимальной вероятной погрешности e оценки  и пропорционален квадрату функции t_b, который растёт быстрее, чем b. Поэтому для оценивания вероятности случайного события по его частоте с достаточной точностью и надёжностью требуется проведение довольно длинной серии испытаний. Сказанное иллюстрируется табл.3.1, в которой приведены потребные числа n_0,95;e испытаний, обеспечивающие с доверительной вероятностью b = 0,95 необходимую точность e оценивания различных значений вероятности  p.

Таблица 3.1

Зависимость числа испытаний от требуемой доверительной вероятности

e	р
	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5
0,05	139	246	323	369	385
0,01	3458	6147	8068	9220	9604

Из табл.3.1 видно, что потребное число n_b;e испытаний растёт не только с увеличением неоходимой точности оценивания, но и с приближением истинного значения p оцениваемой вероятности к 0,5. Это объяснимо, поскольку при p = 0,5 дисперсия оценки  = p^* достигает максимального значения, равного 0,25/n [см. формулу (3.3.3)]. Указанный факт используется для определения верхней границы потребного числа испытаний. Так, полагая p = 0,5, b = 0,95, имеем значение t_b = t_0,95 =1,96 » 2 (см. приложение 4). В соответствии с выражением (3.3.8) получаем

                                      .        (3.3.9)

Пример 3.1. В процессе эксперимента выполнено 200 опытов, частота события A оказалась p^* = 0,34.

1. Построить 85%-й доверительный интервал для вероятности события A.

2. Найти доверительную вероятность b для вероятности события A, если максимальная вероятная погрешность e_b = 0,1.

▼ 1) Для b = 0,85 в приложении 4 находим t_b = 1,439. Тогда по формуле (3.3.6) оценка максимальной вероятной ошибки составит

                                    .

Находим доверительный интервал из соотношения (3.3.7)

                   I_{0,85; 200} » [0,34 – 0,048; 0,34 + 0,048] = [0,292; 0,388].

2) По формуле (3.3.5) находим доверительную вероятность

.

Значение функции Ф₀(x) взято из приложения 2.

▲

Пример 3.2. В процессе эксперимента выполняются опыты, частота события составляет p^* = 0,7.

1. Определить потребный объём выборки, чтобы максимальная вероятная погрешность оценки p^*  составляла e £ 0,05 при доверительной вероятности b =0,9.

2. Найти верхнюю границу потребного числа опытов при любой частоте события .

▼ 1) По заданному b находим t_b = 1,643. Тогда в соответствии с формулой (3.3.8) потребный объём выборки составит

                                        .

2) Из выражения (3.3.9)  имеем

                                                .

▲