Теоретические основы параметрических методов обработки экспериментальных данных (Раздел 2 учебного пособия "Статистические методы обработки экспериментальных данных"), страница 2

2.2.1. Теорема Ляпунова

В природе, как известно, широко распространён нормальный закон распределения. Практикой установлено, что этому закону подчиняются ошибки стрельбы и бомбометания, погрешности измерений, погрешности размеров деталей, изготавливаемых промышленными предприятиями, время безотказной работы многих устройств и т.д. Поэтому в процессе обработки экспериментальной информации часто выдвигается предположение о нормальном распределении исследуемой случайной величины. Однако иногда нормальный закон распределения применить нельзя. Ввиду этого необходимо точно знать, когда можно выдвинуть такое предположение и в каких случаях от него следует отказаться. Этому вопросу посвящена центральная предельная теорема и её разновидности (теоремы Ляпунова, Муавра-Лапласа).

Теорема. Если последовательность независимых случайных величин , ,…,  удовлетворяет условию Ляпунова

                                         ,

где  – третий абсолютный центральный момент, то последовательность случайных величин

                                               

сходится по распределению к случайной величине, имеющей нормальное распределение, т.е. существует предел

                             .

На практике часто пользуются случайными величинами, представляющими собой сумму независимых случайных величин:

                                      .

Поскольку случайная величина  связана со случайной величиной  линейной зависимостью, то в пределе она также будет иметь нормальное распределение. Параметры данного распределения можно выразить с помощью теорем о числовых характеристиках:

                                       

Условие Ляпунова представляет собой требование малости слагаемых

                                                      

в сумме

                                                   .

Таким образом, сущность центральной предельной теоремы состоит в следующем: закон распределения суммы независимых случайных величин при неограниченном увеличении числа слагаемых приближается к нормальному, если случайные величины, входящие в сумму, имеют дисперсию одного и того же порядка и конечные математические ожидания. Это означает, что удельный вес каждого слагаемого стремится к нулю при увеличении числа слагаемых.

В реальных условиях любое случайное отклонение от закономерного протекания основного явления вызывается бесчисленным множеством случайных факторов, каждый из которых обычно оказывает малое влияние на суммарное воздействие, и часто эти факторы независимы или слабо зависимы. Этим и объясняется широкое распространение нормального закона.

На практике теоремой Ляпунова пользуются и тогда, когда n сравнительно невелико. При суммировании непрерывных случайных величин, имеющих одинаковые симметричные законы распределения с одинаковыми числовыми характеристиками, эту теорему можно применять при n ³ 8. Если же суммируются случайные величины с различными несимметричными законами и различными числовыми характеристиками, то теоремой Ляпунова можно пользоваться только при числе слагаемых порядка сотни.

Практическое применение теоремы Ляпунова предполагает использование формул для определения вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в интервал [a; b). В данном случае можно воспользоваться следующими формулами:

                         ;                                                         (2.2.1)

                          ,                                                         (2.2.2)

где

                                               ,                  (2.2.3)

                                                                   (2.2.4)

называются  функциями  нормированного нормального распределения   (т. е. распределения с параметрами = 0, ) или функциями Лапласа, они являются табличными (см. приложения 2 и 3).

Следует отметить, что формулами (2.2.1) и (2.2.2) можно пользоваться при выполнении условия

                                                  ,                    (2.2.5)