Электромагнитные поля и волны. Часть 2 (Направляющие системы СВЧ-диапазона. Регулярные волноводы. Колебательные системы СВЧ. Общая теория цепей СВЧ), страница 17

В общем случае изменение электрических и магнитных полей во времени носит негармонический характер. Его можно представить бесконечной суммой гармонических колебаний с различными амплитудами и фазами. Рассмотрим гармоническое колебание

E=sint,

где E₁ – функция, зависящая от пространственных координат ,

 - угловая частота свободных колебаний.

В момент времени t=0 электрической поле равно нулю, и энергия запасенная в электрическом поле

,

тоже равна нулю. Но полная энергия в резонаторе W постоянна, поэтому вся энергия при t=0 будет сосредоточена в магнитном поле

,

что при гармонических колебаниях означает наличие фазового сдвига равного , между векторами  и , то есть

H=H₁cost.

В любой момент времени t₁ когда Н=0, то есть t =  вся энергия будет сосредоточена в электрическом поле. Для любого момента времени изменение энергии в объеме V₀ равно нулю, то есть

=0,

то должно выполнятся равенство

.

Это значит, что запасенная энергия в объеме V₀ распределена между электрическим и магнитным полем, но сумма энергий остается постоянной. Происходит обмен энергией между электрическим и магнитным полями с частотой , ее называют резонансной частотой свободных колебаний. Она зависит от размеров, формы, объема V₀, а также от структуры электромагнитного поля в объеме V₀.

Задача о нахождении электромагнитного поля в случае закрытых резонаторов без потерь сводится к решению трехмерного векторного волнового уравнения:

,

при граничном условии  на внутренней металлической оболочке резонатора, а  - орт нормали к этой поверхности.

Это уравнение имеет бесконечное множество различных решений, каждому из которых соответствует определенное значение резонансной угловой частоты . Объемные резонаторы, в отличие от контуров с сосредоточенными элементами R, L, C, резонируют не на одной частоте, а на бесконечном множестве дискретных частот , , ….Колебание, которому соответствует минимальная резонансная частота , называют низшим (или основным) колебанием, остальные будут высшими типами колебаний. Каждому типу колебания соответствует своя структура поля. Возможно совпадение резонансных частот для различных типов колебаний в одном и том же резонаторе, такие колебания называют вырожденными. Вводится понятие резонансной длины (или собственной) волны, резонансной (или собственной) частоты по следующим соотношениям:

                           , , ,                   (4.1)

где с – скорость света в вакууме.

В реальных резонаторах имеются тепловые потери мощности Р_п0, так как часть мощности теряется в стенках резонатора на их нагревание. Для поддержания незатухающих колебаний, в этом случае нужен источник энергии P^ст. Если мощность сторонних источников Р^ст чисто активная, то возникает резонанс и в изолированном объеме V₀ накапливается запас электромагнитной энергии W_cр=. Запас электрической энергии усредненной за период Т в электрическом и магнитном полях. Отношение:

                                                                                   (4.2)

называют добротностью изолированной системы, где  - изменение энергии электромагнитного поля за период. Потери электромагнитной энергии в резонаторе складываются из потерь в металлических стенках, из потерь в среде, заполняющей резонатор, часть энергии через элементы связи передается в устройства, связанные с резонатором (усилителем, линии передачи и др.). В открытых резонаторах часть энергии теряется на излучение.

Общие потери в резонаторе

.

При учете только одного вида потерь получаются «частичные» добротности

      ; ; ;   

Полная добротность резонатора Q равна:

                                                                           (4.3)

Ее называют нагруженной. Если нет потерь на излучение Q_рад =∞, нет потерь во внешних устройствах Q_вн = ∞, то будут существовать потери только в самом резонаторе, в стенках и в среде, заполняющей резонатор (обычно это воздух). Такую добротность называют собственной Q₀.