Кратные интегралы

Филиал Федерального Государственного Образовательного

Учреждения Высшего Профессионального Образования

«Сибирский Федеральный Университет» 

в г. Железногорске

Кафедра математики и естественнонаучных дисциплин

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

По высшей математике

Раздел «Кратные интегралы»

(вариант № 15)

Выполнил: студентка

Фомина Валентина Викторовна,

ФИТ 236 Ж.

Проверил:

Перебаева Арина Александровна

2007 г.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1. Определение двойного и тройного интегралов. Их геометрический и физический смысл.

Определение: Двойным интегралом от функции f(x,y) по области S называется предел её интегральной суммы при λ→0:

,

где S – область интегрирования,  f(x,y) – подынтегральная функция.

Предел интегральных сумм существует, если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области S.

Геометрический смысл двойного интеграла: , т.е. двойной интеграл от функции f(x,y)≥0 на области S равен объёму цилиндрического тела с основанием S и ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y).

Физический  смысл двойного интеграла:

 - масса плоской фигуры. Если масса распределена равномерно по всей фигуре, μ=const, то эта формула примет вид: , где S – площадь фигуры D.

Определение: Если при λ→0 интегральные суммы σ имеют предел, не зависящий ни от способа разбиения области Ω на частичные подобласти Ω_i, ни от выбора точек P_i€ Ω_i, то этот предел называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области Ω и обозначается символом  или   . При этом функция f(x,y,z)  называется интегрируемой в области Ω.

Таким образом, по определению имеем:

Геометрический и физический смыслы тройного интеграла: Возвращаясь к задаче о вычислении массы тела, замечаем, что предел  есть тройной интеграл от функции μ(P) по области Ω. Значит, , где dxdydz– элемент объема dv в декартовых координатах.

Вопрос 2. Основные свойства двойных и тройных интегралов.