Аксиоматика. Начальные теоремы теории конечных геометрий

Глава 2. Аксиоматика. Начальные теоремы теории конечных геометрий

Аксиомы геометрии представляют собой исходные положения, на основе которых строится вся геометрия, то есть путем логических рассуждений устанавливаются свойства геометрических фигур. В аксиомах выражены свойства основных геометрических понятий. К таковым в нашем курсе относятся понятия точки, прямой и плоскости.

В настоящей главе мы будем говорить о точках и прямых и связывающих их отношениях.

Обратимся к первой аксиоме геометрии. Формулировки этой аксиомы в разных учебных изданиях несколько отличаются друг от друга.

Погорелов А. В. в своем учебнике по геометрии первую аксиому сформулировал следующим образом:

А. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

В учебнике по геометрии Атанасяна Л. С. первая аксиома звучит так:

А. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Первая аксиома геометрии, сформулированная Колмогоровым А. Н., гласит:

А. Через любые две точки проходит прямая, и только одна.

Колмогоров А. Н. в отличие от других авторов делает сноску, в которой указывает, что под любыми двумя точками он подразумевает две различные точки.

Нетрудно видеть, что все выше указанные аксиомы по своей сути гласят об одном и том же. Разница заключается в выборе каждым автором определенного отношения, связывающего понятия точки и прямой. Одни предпочитают пользоваться таким отношением, как “проходит”, другие – “можно провести”. Возникает желание выбрать для удобства один термин, который соединял бы основные геометрические понятия. Договоримся устанавливать отношения между основными понятиями, используя термин инцидентности. Инцидентность – это нейтральный термин, употребляемый для обозначения связи, соединения между основными объектами.

Перед тем как сформулировать аксиому, используя предложенный термин, зафиксируем внимание на следующем моменте. Все выше приведенные аксиомы начинаются со слов “через любые две точки…”.  И только Колмогоров делает уже упомянутую сноску. Многим читателям данная сноска покажется неуместной, поскольку в аксиоме говорится о двух точках. Но наиболее наблюдательный читатель заметит, что две любые точки не обязательно являются двумя различными точками. Рассмотрим случай, когда две точки совпадают. Тогда через эти точки проходит бесконечно много прямых. Таким образом, прямая, проходящая через любые две точки,  будет единственной только в том случае, когда эти точки различны.

Принимая во внимание выше сказанное, в формулировке аксиомы будем пользоваться словосочетанием “две различные точки”.

Итак, сформулируем первую аксиому.

А. Две различные точки инцидентны единственной прямой.

Аксиома А.по своему смыслу эквивалентна первой аксиоме евклидовой геометрии.

Нам известно, что в евклидовой геометрии две прямые могут быть как параллельными, так и пересекающимися. Об этом гласит следующая теорема: “Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке”.

Так как для построения новой геометрии мы сами в праве выбирать систему аксиом, то, упростив упомянутую теорему, потребуем, чтобы в нашей геометрии две различные прямые обязательно пересекались, причем в единственной точке. Возьмем это требование за аксиому, в формулировке которой применим для связи основных объектов термин инцидентности.

А.Две различные прямые инцидентны единственной точке.

Посмотрев внимательно на аксиомы  А и А, нетрудно увидеть, что если в первой аксиоме (А) поменять местами слова “точка” и “прямая”, то мы получим в точности вторую аксиому (А). Если аналогичную замену проделать в аксиоме А, то получим в точности аксиому А.