Приведение квадратичной формы к каноническому виду: ортогональными преобразованиями, методом Лагранжа

Страницы работы

Содержание работы

ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ: ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ, МЕТОДОМ ЛАГРАНЖА

Ортогональное преобразование. Для того чтобы привести квадратич­ную форму f(xl,x2,x3) к каноническому виду (10.4), необходимо выписать матрицу квадратичной формы

у которой Aij = Aji т. е. элементы, симметричные относительно главной диа­гонали, совпадают. Затем составляем и решаем характеристическое уравне­ние:


Так как матрица симметричная, то корни λ123 характеристического уравнения являются действительные числа. Найденные собственные числа являются коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы в ба­зисе е'1,е'2, е'3:

f(x'1,x'2, x'3)= f1x'21 + f2x'22 + f3x'23

Пусть найдены нормированные собственные векторы, соответствую­щие характеристическим числам γ 1 γ 2, γ3 в ортонормированном базисе е1 е2, е3:

е'1 = q11 е1+ q21 е2 + q31 е3 ,

е'2 = q12 е1+ q22 е2 + q32 е3 ,

е'3 = q13 е1+ q23 е2 + q33 е3 ,

В свою очередь, векторы е'ь е'2, е'з образуют ортонормированный базис. Матрица

является матрицей перехода от базиса e1, е2, е3 к базису е'1,е'2, е'3

Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонор-мированному базису имеют вид:

Принято говорить, что квадратичная форма f(xl,x2,x3) приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования В.

Метод Лагранжа выделения полных квадратов. Пусть дана квадра­тичная форма (Ю.З) и пусть все коэффициенты aij (при квадратах хi2), i=1,2,3. равны нулю и в тоже время форма не равна тождественно нулю, то отлично от нуля хотя бы одно произведение, например 2al2x1x2 , т. е.

f(xl,x2,x3)= 2al2x1x2

Выполним преобразование базиса, при котором координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами:

x1= x'1 - x'2

x2= x'1 + x'2

x3= x'3

Тогда   f(xl,x2,x3)-2al2x1x2.= 2a12( х'12 - х'22)=2а12х'12 -2а12х'22,   и   так как, по предположению, а11 = а22 =0, то коэффициент при х'12 отличен от

нуля.

Таким образом, всегда найдется такой базис, в котором в квадратичной форме хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Практика
Размер файла:
37 Kb
Скачали:
6