Приведение квадратичной формы к каноническому виду: ортогональными преобразованиями, методом Лагранжа

Так как матрица симметричная, то корни λ₁,λ₂,λ₃ характеристического уравнения являются действительные числа. Найденные собственные числа являются коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы в ба­зисе е'₁,е'₂, е'₃:

f(x'₁,x'₂, x'₃)= f₁x'²₁ + f₂x'²₂ + f₃x'²₃

Пусть найдены нормированные собственные векторы, соответствую­щие характеристическим числам γ ₁ γ ₂, γ₃ в ортонормированном базисе е₁ е₂, е₃:

е'₁ = q₁₁ е₁+ q₂₁ е₂ + q₃₁ е₃ ,

е'₂ = q₁₂ е₁+ q₂₂ е₂ + q₃₂ е₃ ,

е'₃ = q₁₃ е₁+ q₂₃ е₂ + q₃₃ е₃ ,

В свою очередь, векторы е'_ь е'₂, е'з образуют ортонормированный базис. Матрица

является матрицей перехода от базиса e₁, е₂, е₃ к базису е'₁,е'₂, е'₃

Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонор-мированному базису имеют вид:

Принято говорить, что квадратичная форма f(x_l,x₂,x₃) приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования В.

Метод Лагранжа выделения полных квадратов. Пусть дана квадра­тичная форма (Ю.З) и пусть все коэффициенты a_ij (при квадратах х_i²), i=1,2,3. равны нулю и в тоже время форма не равна тождественно нулю, то отлично от нуля хотя бы одно произведение, например 2a_l2x₁x₂ , т. е.

f(x_l,x₂,x₃)= 2a_l2x₁x₂

Выполним преобразование базиса, при котором координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами:

x₁= x'₁ - x'₂

x₂= x'₁ + x'₂

x₃= x'₃

Тогда   f(x_l,x₂,x₃)-2a_l2x₁x₂.= 2a₁₂( х'₁² - х'₂²)=2а₁₂х'₁² -2а₁₂х'₂²,   и   так как, по предположению, а₁₁ = а₂₂ =0, то коэффициент при х'₁² отличен от

нуля.

Таким образом, всегда найдется такой базис, в котором в квадратичной форме хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля.