Аксиоматика. Начальные теоремы теории конечных геометрий, страница 2

Данное наблюдение открывает перед нами следующие возможности. Если доказана какая – либо теорема о точках и прямых, сформулированная в терминах инцидентности между ними, то  можно получить другую теорему, поменяв местами в первой теореме слова “точка” и “прямая”, доказывать которую уже не надо. Получившаяся теорема автоматически является верной и называется двойственной той теореме, из которой она образовалась в силу упомянутой замены.

 Определение 2.1. Положение, позволяющее производить замену слова  “точка” на слово “прямая” (и наоборот) называется принципом двойственности.

Заметим, что геометрия, которую мы строим, на данный момент основывается на двух аксиомах, содержание которых не позволяет выйти за черту крайней бедности нашей теории. Поэтому нет смысла останавливаться на этих двух аксиомах. Введем аксиому А.

А.Существуют такие четыре точки, что прямая, инцидентная любым двум из них, не инцидентна ни одной из двух других.

Сформулируем и докажем первую теорему.

Теорема 2.1. Каждая прямая инцидентна, по крайней мере, трем точкам.

Доказательство. Из аксиомы А следует, что существуют четыре точки  а, а, а, а, никакие три из которых не инцидентны одной   прямой. Согласно аксиоме А этим точкам соответствуют шесть различных прямых, соединяющих их попарно: L: а, а, в;  L: а, а, в;  L: а, а,в;  L: а, а, ,в;  L: а,  а,  в;   L: а, а, в. Здесь в, в, в- точки пересечения данных прямых (аксиома А). Точки в, в, в различны и отличаются от а, i=1, 2, 3, 4, так как в противном случае, нашлись бы, по меньшей мере две различные прямые L, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, которые были бы инцидентны двум общим точкам или ни одной, что противоречит аксиоме А. Рассмотрим произвольную прямую L. По аксиоме А данная прямая имеет одну общую точку с каждой из прямых L, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если произвольная прямая L не инцидентна точке а, то эта прямая в паре с каждой из прямых L, L, L инцидентны трем различным точкам. Если L не инцидентна точке а, то каждая пара, состоящая из прямой L и прямых: L, L, L инцидентны трем различным точкам. Если же прямая L инцидентна  и а, и а, то L = L, но прямая L содержит, во всяком случае, три различные точки  а, а, в. Теорема доказана.