Аксиоматика. Начальные теоремы теории конечных геометрий, страница 4

Принцип двойственности позволяет сформулировать теорему 2.4.

Теорема 2.4. Каждая точка инцидентна (q  + 1) прямой.

Роль теорем 2.3 и 2.4 весьма значительна. Они проясняют, что требование, предъявленное аксиомой А, на первый взгляд усматриваемое как не очень жесткое, на самом деле очень существенно и серьезно влияет на устройство всей нашей геометрии в целом. Зафиксируем число q . Тогда речь пойдет о геометрии порядка q. Но встает вопрос для каждого ли q существует геометрия? В аксиоме А  мы указали, что число q  2. Значит, минимальная геометрия возможна при q = 2. Перед тем, как установить существование данной геометрии докажем теорему 2.5.

Теорема 2.5. Геометрия порядка q состоит из (q+ q + 1) точек.

Доказательство. Каждая точка плоскости, согласно аксиоме А, инцидентна некоторой прямой пучка прямых с центром в точке А. Согласно теореме 2.4, в пучке содержится (q + 1) прямая. Каждая из (q + 1) – прямой инцидентна q – точкам, отличным от точки А (по теореме 3). Поэтому общее число точек на плоскости ровно (q + 1) q+1 = q+q+1. Теорема доказана.

Применяя принцип двойственности к теореме 5, сформулируем   теорему 6.

Теорема 2.6. Геометрия порядка q состоит из (q+q+1) прямой.