Построение конечных геометрий порядка 4 и 5 с использованием латинских квадратов

Глава 4. Построение конечных геометрий порядка 4 и 5 с использованием латинских квадратов

Настоящую главу мы посвятим выяснению существования конечных геометрий порядка 4 и 5.

Сначала попытаемся построить конечную геометрию 4 - го порядка. Если такая геометрия существует, то согласно теореме 2.5, она состоит из 21 точки (4 + 4 + 1 = 21) и 21 прямой. В свою очередь, каждая прямая инцидентна 5 точкам (4 + 1 = 5) (теорема 2.3), а каждая точка - 5 прямым (теорема 2.4).

Конечную плоскость порядка 4 задает таблица инцидентности размером 2121. Внешнюю, среднюю части таблицы и семь квадратов внутренней части, граничащих со средней частью таблицы, заполним по ранее сформулированному принципу (рис. 28). Незаполненными остались 9 квадратов внутренней части таблицы.

 Естественно, что рассматривать все возможные варианты распределения знаков “” в данных девяти квадратах нецелесообразно, поскольку на заполнение, таким образом, конечной плоскости 4 - го порядка потребуется достаточно много времени. Кроме того, очень легко запутаться. Выберем иной путь.

Аналогично построению конечной плоскости порядка 3 с использованием латинских квадратов попытаемся построить конечную плоскость порядка 4. Для этого нам необходимо найти систему ортогональных латинских квадратов 4 порядка. Гарантию на существование конечной плоскости 4 - го порядка при наличии системы взаимно ортогональных латинских квадратов этого же порядка нам дает следующее утверждение.

Утверждение. Если существует полный набор взаимно ортогональных латинских квадратов порядка n, то сих помощью можно построить конечную плоскость порядка n.