Передаточные функции системы автоматического управления. Типовые воздействия в автоматике переходная характеристика звена. Импульсное входное воздействие, страница 6

Для того чтобы система была устойчивой, необходимо чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси.

P₁, P₂ – корни вещественные отрицательные – система устойчива.

Р₃, Р₄ – комплексно сопряженные с вещественной частью, система устойчива.

Р₅ – вещественный корень, система не устойчива.

Р₆, Р₇ – корни чисто мнимые, система находится на колебательной границе устойчивости.

Р₈, Р₉ – комплексно сопряженные с положительной частью, система неустойчива.

Р₁₀ – корень равен 0 – система не определена.

Использование метода нахождения корней характеристического уравнения представляет собой большие трудности при решении уравнений выше 2-й степени, кроме того, для нахождения корней необходимо иметь значения коэффициентов уравнения, следовательно значения всех параметров системы, так как связь между корнями уравнения и параметрами системы нельзя выразить в общем виде, то трудно объяснить как надо изменить неустойчивую систему или ее отдельные параметры, чтобы сделать систему устойчивой.

Существуют методы исследования систем по косвенным признакам, позволяющим судить о знаках действительных частей корней без решения самого характеристического уравнения.  Эти косвенные признаки, или математические условия, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения, или какие-либо функции этих коэффициентов, чтобы система была устойчивой, называют критериями устойчивости.

Критерий устойчивости Раусса.

Критерий Раусса является алгебраическим критерием и позволяет по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы определить место нахождения корней без решения характеристического уравнения. Критерий Раусаа представляет собой правило, оформленное в виде таблицы, при этом коэффициенты уравнения имеющие четные индексы записываются в 1ю строку, имеющие нечетные индексы во вторую строку, остальные строки, которых всего n + 1, и столбцы заполняются по предыдущим известным строкам на основе определенного правила.

№	1	2	3	4
1
2
3
4

Если в полученной таблице все коэффициенты 1-го столбца при a₀ > 0, то вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательные и система устойчива.

Если хотя бы один коэффициент первого столбца <= 0, то система неустойчива, при этом число переменных знаков этого столбца показывает число корней с положительной вещественной частью, таким образом критерий Раусса имеет формулировку:

чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все величины первого столбца были  > 0 при положительном коэффициенте a₀ старшего члена характеристического уравнения.

Недостатком критерия Раусса является большой объем арифметических вычислений при высокой степени характеристического уравнения.

Критерий Гурвица.

Условие устойчивости по Гурвицу сводится к тому, чтобы при а_0­ > 0 все диагональные миноры главного определителя были  > 0. Если характеристическое уравнение n-ой степени имеет вид:

,

то используя коэффициенты этого уравнения составляют главный определитель Гурвица. Для этого все коэффициенты, начиная с коэффициента n – 1 производной выписывают последовательно до свободного члена по диагонали. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз- коэффициентами с убывающими индексами. Места, которые должны быть заняты коэффициентами с индексами выше a_n и ниже a₀ заполняют нулями.

В результате получают определитель из n-строк и n-столбцов. Его первая строка состоит из нечетных коэффициентов, начиная с а₁, вторая строка включает все четные коэффициенты, третья строка получается из первой, а четвертая из второй, сдвигом вправо на 1 элемент. На освободившиеся места ставится 0 и так далее из главного определителя выделяются диагональные миноры.